1.(本题10分)设A= (} 0& 3& 3 1& 1& 0 -1& 2& 3 ) . =A+2B, 求B.

步骤 1：将给定的矩阵方程重写
给定矩阵方程为 AB = A + 2B。我们首先将方程重写为 AB - 2B = A，即 (A - 2E)B = A，其中 E 是单位矩阵。

步骤 2：计算 A - 2E
计算 A - 2E，其中 E 是单位矩阵。A - 2E =
\[
\begin{pmatrix}
0 & 3 & 3 \\
1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & -1
\end{pmatrix}
-
2
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-2 & 3 & 3 \\
1 & -1 & 0 \\
0 & 1 & -3
\end{pmatrix}
\]

步骤 3：求解 (A - 2E)^{-1}
为了求解 B，我们需要找到 (A - 2E)^{-1}。我们使用高斯-约旦消元法来求逆矩阵。首先，我们将 (A - 2E) 和单位矩阵并排写在一起，然后进行行变换，直到左侧变为单位矩阵，右侧即为逆矩阵。
\[
\left(
\begin{array}{ccc|ccc}
-2 & 3 & 3 & 1 & 0 & 0 \\
1 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & -3 & 0 & 0 & 1
\end{array}
\right)
\]
通过行变换，我们得到：
\[
\left(
\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 0 & -3/2 & -3/2 & -3/2 \\
0 & 1 & 0 & -3/2 & -3/2 & -3/2 \\
0 & 0 & 1 & -1/2 & -1/2 & -1/2
\end{array}
\right)
\]
因此，(A - 2E)^{-1} =
\[
\begin{pmatrix}
-3/2 & -3/2 & -3/2 \\
-3/2 & -3/2 & -3/2 \\
-1/2 & -1/2 & -1/2
\end{pmatrix}
\]

步骤 4：计算 B
最后，我们计算 B = (A - 2E)^{-1}A。将 (A - 2E)^{-1} 和 A 相乘，得到：
\[
B =
\begin{pmatrix}
-3/2 & -3/2 & -3/2 \\
-3/2 & -3/2 & -3/2 \\
-1/2 & -1/2 & -1/2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & 3 & 3 \\
1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & -1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-3/2 & -3 & -3 \\
-3/2 & -3 & -3 \\
-1/2 & -1 & -1
\end{pmatrix}
\]