设 A, B 均为 n 阶方矩阵，则必有 A. |A+B|=|A|+|B|B. |AB|=|B.A|C. AB=BAD. (AB)^T=A^T B^T

为了确定给定的关于 $n$ 阶方阵 $A$ 和 $B$ 的陈述中哪一个是正确的，让我们逐步分析每个选项。 **选项 A: $|A+B| = |A| + |B|$** 这个陈述是错误的。矩阵的行列式不具有加法性质。换句话说，两个矩阵的和的行列式不一定等于它们的行列式的和。例如，考虑以下 $2 \times 2$ 矩阵： \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \] 那么， \[ |A| = 1, \quad |B| = 1, \quad A + B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad |A + B| = 0 \] 所以，$ |A + B| = 0 \neq |A| + |B| = 2 $。 **选项 B: $|AB| = |BA|$** 这个陈述是正确的。矩阵的行列式具有乘法性质，即对于任何两个 $n \times n$ 矩阵 $A$ 和 $B$，有 $|AB| = |A||B|$ 和 $|BA| = |B||A|$。由于矩阵的行列式是一个标量，标量的乘法是可交换的，所以 $|A||B| = |B||A|$。因此，$ |AB| = |BA| $。 **选项 C: $AB = BA$** 这个陈述是错误的。矩阵的乘法一般不具有可交换性。换句话说，两个矩阵的乘积不一定等于它们以相反顺序的乘积。例如，考虑以下 $2 \times 2$ 矩阵： \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \] 那么， \[ AB = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \] \[ BA = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \] 所以，$ AB \neq BA $。 **选项 D: $(AB)^T = A^T B^T$** 这个陈述是错误的。矩阵乘积的转置是它们的转置以相反顺序的乘积。换句话说，$(AB)^T = B^T A^T$。例如，考虑以下 $2 \times 2$ 矩阵： \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} \] 那么， \[ AB = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix} \] \[ (AB)^T = \begin{pmatrix} 19 & 43 \\ 22 & 50 \end{pmatrix} \] \[ A^T = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}, \quad B^T = \begin{pmatrix} 5 & 7 \\ 6 & 8 \end{pmatrix} \] \[ A^T B^T = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & 7 \\ 6 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 23 & 31 \\ 34 & 46 \end{pmatrix} \] 所以，$ (AB)^T \neq A^T B^T $。 因此，正确答案是 $\boxed{B}$。