如果正整数n的所有正因数（包括本身）之和为2n,则称n为完全数.证明：不存在形如p的a次方*q的b次方*r的c次方的完全数（a,b,c为正整数,p,q,r为奇质数）

步骤 1：定义完全数
完全数是指一个正整数n，其所有正因数（包括1和n本身）之和等于2n。即，如果n是完全数，则有：
\[ \sigma(n) = 2n \]
其中，\(\sigma(n)\)表示n的所有正因数之和。

步骤 2：考虑形如\(p^a q^b r^c\)的数
假设存在一个形如\(p^a q^b r^c\)的完全数，其中\(a, b, c\)为正整数，\(p, q, r\)为奇质数。我们需要计算这个数的所有正因数之和。

步骤 3：计算所有正因数之和
对于形如\(p^a q^b r^c\)的数，其所有正因数之和为：
\[ \sigma(p^a q^b r^c) = (1 + p + p^2 + \cdots + p^a)(1 + q + q^2 + \cdots + q^b)(1 + r + r^2 + \cdots + r^c) \]
利用等比数列求和公式，可以将上述表达式简化为：
\[ \sigma(p^a q^b r^c) = \frac{p^{a+1} - 1}{p - 1} \cdot \frac{q^{b+1} - 1}{q - 1} \cdot \frac{r^{c+1} - 1}{r - 1} \]

步骤 4：分析完全数的条件
如果\(p^a q^b r^c\)是完全数，则有：
\[ \sigma(p^a q^b r^c) = 2p^a q^b r^c \]
即：
\[ \frac{p^{a+1} - 1}{p - 1} \cdot \frac{q^{b+1} - 1}{q - 1} \cdot \frac{r^{c+1} - 1}{r - 1} = 2p^a q^b r^c \]

步骤 5：分析等式两边的奇偶性
由于\(p, q, r\)为奇质数，所以\(p^{a+1} - 1, q^{b+1} - 1, r^{c+1} - 1\)均为偶数，而\(p - 1, q - 1, r - 1\)均为偶数。因此，等式左边的三个分数均为奇数，而等式右边的\(2p^a q^b r^c\)为偶数。这导致等式两边的奇偶性不一致，从而产生矛盾。

步骤 6：得出结论
由于假设导致了矛盾，因此不存在形如\(p^a q^b r^c\)的完全数，其中\(a, b, c\)为正整数，\(p, q, r\)为奇质数。