题目
求下列函数的导数:-|||-(5) =sqrt [3]({({x)^2-1)}^2};
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定函数形式
函数 $y=\sqrt [3]{{({x}^{2}-1)}^{2}}$ 可以写成 $y=({x}^{2}-1)^{\frac{2}{3}}$，这是一个复合函数，其中外函数是 $u^{\frac{2}{3}}$，内函数是 $u={x}^{2}-1$。
步骤 2：应用链式法则
链式法则告诉我们，如果 $y=f(u)$，$u=g(x)$，那么 $y$ 对 $x$ 的导数 $y'$ 可以表示为 $y'=f'(u) \cdot g'(x)$。因此，我们需要分别求出外函数和内函数的导数。
步骤 3：求导
- 外函数 $f(u)=u^{\frac{2}{3}}$ 的导数是 $f'(u)=\frac{2}{3}u^{-\frac{1}{3}}$。
- 内函数 $g(x)={x}^{2}-1$ 的导数是 $g'(x)=2x$。
- 将 $u={x}^{2}-1$ 代入 $f'(u)$，得到 $f'(u)=\frac{2}{3}({x}^{2}-1)^{-\frac{1}{3}}$。
- 根据链式法则，$y'$ 等于 $f'(u) \cdot g'(x)$，即 $y'=\frac{2}{3}({x}^{2}-1)^{-\frac{1}{3}} \cdot 2x$。
步骤 4：简化结果
将上一步得到的导数进行简化，得到 $y'=\frac{4x}{3({x}^{2}-1)^{\frac{1}{3}}}$，即 $y'=\frac{4x}{3\sqrt[3]{{x}^{2}-1}}$。
函数 $y=\sqrt [3]{{({x}^{2}-1)}^{2}}$ 可以写成 $y=({x}^{2}-1)^{\frac{2}{3}}$，这是一个复合函数，其中外函数是 $u^{\frac{2}{3}}$，内函数是 $u={x}^{2}-1$。
步骤 2：应用链式法则
链式法则告诉我们，如果 $y=f(u)$，$u=g(x)$，那么 $y$ 对 $x$ 的导数 $y'$ 可以表示为 $y'=f'(u) \cdot g'(x)$。因此，我们需要分别求出外函数和内函数的导数。
步骤 3：求导
- 外函数 $f(u)=u^{\frac{2}{3}}$ 的导数是 $f'(u)=\frac{2}{3}u^{-\frac{1}{3}}$。
- 内函数 $g(x)={x}^{2}-1$ 的导数是 $g'(x)=2x$。
- 将 $u={x}^{2}-1$ 代入 $f'(u)$，得到 $f'(u)=\frac{2}{3}({x}^{2}-1)^{-\frac{1}{3}}$。
- 根据链式法则，$y'$ 等于 $f'(u) \cdot g'(x)$，即 $y'=\frac{2}{3}({x}^{2}-1)^{-\frac{1}{3}} \cdot 2x$。
步骤 4：简化结果
将上一步得到的导数进行简化，得到 $y'=\frac{4x}{3({x}^{2}-1)^{\frac{1}{3}}}$，即 $y'=\frac{4x}{3\sqrt[3]{{x}^{2}-1}}$。