题目

(5) (dy)/(dx)+(2-3x^2)/(x^3)y=1,y|_(x=1)=0;

(5) $\frac{dy}{dx}+\frac{2-3x^{2}}{x^{3}}y=1,y|_{x=1}=0;$

题目解答

答案

将方程重写为标准形式： \[ \frac{dy}{dx} + \frac{2-3x^2}{x^3}y = 1 \] 求积分因子： \[ \mu(x) = e^{\int \frac{2-3x^2}{x^3} \, dx} = e^{-\frac{1}{x^2} - 3\ln|x|} = \frac{e^{-\frac{1}{x^2}}}{x^3} \] 两边乘以积分因子： \[ \frac{d}{dx} \left( y \cdot \frac{e^{-\frac{1}{x^2}}}{x^3} \right) = \frac{e^{-\frac{1}{x^2}}}{x^3} \] 积分得： \[ y \cdot \frac{e^{-\frac{1}{x^2}}}{x^3} = \frac{1}{2} e^{-\frac{1}{x^2}} + C \] 解出 $y$： \[ y = \frac{x^3}{2} \left( 1 - e^{\frac{1}{x^2} - 1} \right) \] 由初始条件 $y(1) = 0$ 求得 $C = -\frac{1}{2e}$，代入得特解： \[ \boxed{y = \frac{x^3}{2} \left( 1 - e^{\frac{1}{x^2} - 1} \right)} \]

解析

本题考查一阶线性非齐次微分方程的求解。解题思路是先将给定的方程化为一阶线性非齐次微分方程的标准形式，然后求出对应的积分因子，利用积分因子将方程转化为全微分方程进行积分，最后根据给定的初始条件确定积分常数，从而得到方程的特解。

  1. 将方程化为标准形式：
    已知方程$\frac{dy}{dx}+\frac{2 - 3x^{2}}{x^{3}}y = 1$，它已经是一阶线性非齐次微分方程$\frac{dy}{dx}+P(x)y = Q(x)$的标准形式，其中$P(x)=\frac{2 - 3x^{2}}{x^{3}}$，$Q(x)=1$。
  2. 求积分因子$\mu(x)$：
    根据积分因子公式$\mu(x)=e^{\int P(x)dx}$，计算$\int P(x)dx$：
    $\begin{align*}\int\frac{2 - 3x^{2}}{x^{3}}dx&=\int(\frac{2}{x^{3}}-\frac{3}{x})dx\\&=2\int x^{-3}dx - 3\int\frac{1}{x}dx\\&=2\times\frac{x^{-3 + 1}}{-3 + 1}-3\ln|x|\\&=-\frac{1}{x^{2}}-3\ln|x|\end{align*}$
    所以积分因子$\mu(x)=e^{-\frac{1}{x^{2}}-3\ln|x|}$，根据对数运算法则$a\ln b=\ln b^{a}$和$e^{\ln a}=a$，可得$\mu(x)=e^{-\frac{1}{x^{2}}}\cdot e^{\ln x^{-3}}=\frac{e^{-\frac{1}{x^{2}}}}{x^{3}}$。
  3. 将方程两边乘以积分因子：
    原方程两边同时乘以$\mu(x)=\frac{e^{-\frac{1}{x^{2}}}}{x^{3}}$，得到：
    $\frac{e^{-\frac{1}{x^{2}}}}{x^{3}}\frac{dy}{dx}+\frac{e^{-\frac{1}{x^{2}}}}{x^{3}}\cdot\frac{2 - 3x^{2}}{x^{3}}y=\frac{e^{-\frac{1}{x^{2}}}}{x^{3}}$
    根据乘积的求导法则$(uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime$，上式左边可化为$\frac{d}{dx}(y\cdot\frac{e^{-\frac{1}{x^{2}}}}{x^{3}})$，即$\frac{d}{dx}(y\cdot\frac{e^{-\frac{1}{x^{2}}}}{x^{3}})=\frac{e^{-\frac{1}{x^{2}}}}{x^{3}}$。
  4. 对等式两边积分：
    对$\frac{d}{dx}(y\cdot\frac{e^{-\frac{1}{x^{2}}}}{x^{3}})=\frac{e^{-\frac{1}{x^{2}}}}{x^{3}}$两边同时积分：
    $\int\frac{d}{dx}(y\cdot\frac{e^{-\frac{1}{x^{2}}}}{x^{3}})dx=\int\frac{e^{-\frac{1}{x^{2}}}}{x^{3}}dx$
    左边积分结果为$y\cdot\frac{e^{-\frac{1}{x^{2}}}}{x^{3}}$，对于右边积分$\int\frac{e^{-\frac{1}{x^{2}}}}{x^{3}}dx$，令$t = -\frac{1}{x^{2}}$，则$dt=\frac{2}{x^{3}}dx$，$\frac{1}{x^{3}}dx=\frac{1}{2}dt$，所以：
    $\begin{align*}\int\frac{e^{-\frac{1}{x^{2}}}}{x^{3}}dx&=\frac{1}{2}\int e^{t}dt\\&=\frac{1}{2}e^{t}+C\\&=\frac{1}{2}e^{-\frac{1}{x^{2}}}+C\end{align*}$
    则$y\cdot\frac{e^{-\frac{1}{x^{2}}}}{x^{3}}=\frac{1}{2}e^{-\frac{1}{x^{2}}}+C$。
  5. 解出$y$：
    将上式两边同时乘以$\frac{x^{3}}{e^{-\frac{1}{x^{2}}}}$，得到$y=\frac{x^{3}}{2}(1 + Ce^{\frac{1}{x^{2}}})$。
  6. 根据初始条件确定$C$：
    已知$y|_{x = 1}=0$，将$x = 1$，$y = 0$代入$y=\frac{x^{3}}{2}(1 + Ce^{\frac{1}{x^{2}}})$中，可得：
    $0=\frac{1^{3}}{2}(1 + Ce^{\frac{1}{1^{2}}})$，即$1 + Ce = 0$，解得$C=-\frac{1}{e}$。
  7. 得到特解：
    将$C=-\frac{1}{e}$代入$y=\frac{x^{3}}{2}(1 + Ce^{\frac{1}{x^{2}}})$中，得到特解$y=\frac{x^{3}}{2}(1 - e^{\frac{1}{x^{2}}-1})$。