题目
(5) (dy)/(dx)+(2-3x^2)/(x^3)y=1,y|_(x=1)=0;
(5) $\frac{dy}{dx}+\frac{2-3x^{2}}{x^{3}}y=1,y|_{x=1}=0;$
题目解答
答案
将方程重写为标准形式：
\[
\frac{dy}{dx} + \frac{2-3x^2}{x^3}y = 1
\]
求积分因子：
\[
\mu(x) = e^{\int \frac{2-3x^2}{x^3} \, dx} = e^{-\frac{1}{x^2} - 3\ln|x|} = \frac{e^{-\frac{1}{x^2}}}{x^3}
\]
两边乘以积分因子：
\[
\frac{d}{dx} \left( y \cdot \frac{e^{-\frac{1}{x^2}}}{x^3} \right) = \frac{e^{-\frac{1}{x^2}}}{x^3}
\]
积分得：
\[
y \cdot \frac{e^{-\frac{1}{x^2}}}{x^3} = \frac{1}{2} e^{-\frac{1}{x^2}} + C
\]
解出 $y$：
\[
y = \frac{x^3}{2} \left( 1 - e^{\frac{1}{x^2} - 1} \right)
\]
由初始条件 $y(1) = 0$ 求得 $C = -\frac{1}{2e}$，代入得特解：
\[
\boxed{y = \frac{x^3}{2} \left( 1 - e^{\frac{1}{x^2} - 1} \right)}
\]