题目
1 设有10个同种类型的电器元件，其中有2个废品，装配电器时，从这批元件中任取1个，若是废品，则扔掉重新任取1个；若仍是废品，则扔掉再任取1个.求在取到正品之前已取出的废品数的数学期望与方差.
1 设有10个同种类型的电器元件，其中有2个废品，装配电
器时，从这批元件中任取1个，若是废品，则扔掉重新任取1个；若
仍是废品，则扔掉再任取1个.求在取到正品之前已取出的废品数
的数学期望与方差.
题目解答
答案
设随机变量 $X$ 表示取到正品前已取出的废品数，可能取值为0、1、2。
计算概率：
- $P(X=0) = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$
- $P(X=1) = \frac{2}{10} \times \frac{8}{9} = \frac{8}{45}$
- $P(X=2) = \frac{2}{10} \times \frac{1}{9} \times 1 = \frac{1}{45}$
分布列：
\[
\boxed{
\begin{array}{c|c}
X & 0 & 1 & 2 \\
\hline
P & \frac{4}{5} & \frac{8}{45} & \frac{1}{45} \\
\end{array}
}
\]
数学期望：
\[
E(X) = 0 \times \frac{4}{5} + 1 \times \frac{8}{45} + 2 \times \frac{1}{45} = \frac{2}{9}
\]
方差：
\[
D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \left(0^2 \times \frac{4}{5} + 1^2 \times \frac{8}{45} + 2^2 \times \frac{1}{45}\right) - \left(\frac{2}{9}\right)^2 = \frac{4}{15} - \frac{4}{81} = \frac{88}{405}
\]
答案：
\[
\boxed{
\begin{array}{c}
E(X) = \frac{2}{9} \\
D(X) = \frac{88}{405} \\
\end{array}
}
\]
解析
步骤 1：定义随机变量
设随机变量 $X$ 表示取到正品前已取出的废品数，可能取值为0、1、2。
步骤 2：计算概率
- $P(X=0)$：第一次取到正品的概率，即 $P(X=0) = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$。
- $P(X=1)$：第一次取到废品，第二次取到正品的概率，即 $P(X=1) = \frac{2}{10} \times \frac{8}{9} = \frac{8}{45}$。
- $P(X=2)$：第一次和第二次都取到废品的概率，即 $P(X=2) = \frac{2}{10} \times \frac{1}{9} \times 1 = \frac{1}{45}$。
步骤 3：计算数学期望
\[ E(X) = 0 \times \frac{4}{5} + 1 \times \frac{8}{45} + 2 \times \frac{1}{45} = \frac{2}{9} \]
步骤 4：计算方差
\[ D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \left(0^2 \times \frac{4}{5} + 1^2 \times \frac{8}{45} + 2^2 \times \frac{1}{45}\right) - \left(\frac{2}{9}\right)^2 = \frac{4}{15} - \frac{4}{81} = \frac{88}{405} \]
设随机变量 $X$ 表示取到正品前已取出的废品数，可能取值为0、1、2。
步骤 2：计算概率
- $P(X=0)$：第一次取到正品的概率，即 $P(X=0) = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$。
- $P(X=1)$：第一次取到废品，第二次取到正品的概率，即 $P(X=1) = \frac{2}{10} \times \frac{8}{9} = \frac{8}{45}$。
- $P(X=2)$：第一次和第二次都取到废品的概率，即 $P(X=2) = \frac{2}{10} \times \frac{1}{9} \times 1 = \frac{1}{45}$。
步骤 3：计算数学期望
\[ E(X) = 0 \times \frac{4}{5} + 1 \times \frac{8}{45} + 2 \times \frac{1}{45} = \frac{2}{9} \]
步骤 4：计算方差
\[ D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \left(0^2 \times \frac{4}{5} + 1^2 \times \frac{8}{45} + 2^2 \times \frac{1}{45}\right) - \left(\frac{2}{9}\right)^2 = \frac{4}{15} - \frac{4}{81} = \frac{88}{405} \]