题目
三、求齐次线性方程组}x_{1)+2x_(2)+2x_(3)+x_(4)=02x_(1)+x_(2)-2x_(3)-x_(4)=0x_(1)-x_(2)-4x_(3)-2x_(4)=0.的基础解系，并进一步写出其通解.
三、求齐次线性方程组$\left\{\begin{matrix}x_{1}+2x_{2}+2x_{3}+x_{4}=0\\2x_{1}+x_{2}-2x_{3}-x_{4}=0\\x_{1}-x_{2}-4x_{3}-2x_{4}=0\end{matrix}\right.$的基础解系，并进一步写出其通解.
题目解答
答案
为了求解齐次线性方程组 $\left\{\begin{matrix}x_{1}+2x_{2}+2x_{3}+x_{4}=0\\2x_{1}+x_{2}-2x_{3}-x_{4}=0\\x_{1}-x_{2}-4x_{3}-2x_{4}=0\end{matrix}\right.$ 的基础解系和通解，我们首先将该方程组表示为矩阵形式 $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$，其中 $A$ 是系数矩阵，$\mathbf{x}$ 是未知数向量，$\mathbf{0}$ 是零向量。
系数矩阵 $A$ 为：
\[
A = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 2 & 1 \\
2 & 1 & -2 & -1 \\
1 & -1 & -4 & -2
\end{pmatrix}
\]
我们通过初等行变换将 $A$ 化为行阶梯形矩阵。首先，将第二行减去第一行的 2 倍，第三行减去第一行：
\[
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 2 & 1 \\
2 & 1 & -2 & -1 \\
1 & -1 & -4 & -2
\end{pmatrix}
\rightarrow
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 2 & 1 \\
0 & -3 & -6 & -3 \\
0 & -3 & -6 & -3
\end{pmatrix}
\]
接下来，将第三行减去第二行：
\[
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 2 & 1 \\
0 & -3 & -6 & -3 \\
0 & -3 & -6 & -3
\end{pmatrix}
\rightarrow
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 2 & 1 \\
0 & -3 & -6 & -3 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\]
然后，将第二行除以 -3：
\[
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 2 & 1 \\
0 & -3 & -6 & -3 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\rightarrow
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 2 & 1 \\
0 & 1 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\]
最后，将第一行减去第二行的 2 倍：
\[
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 2 & 1 \\
0 & 1 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\rightarrow
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -2 & -1 \\
0 & 1 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\]
行阶梯形矩阵为：
\[
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -2 & -1 \\
0 & 1 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\]
从行阶梯形矩阵中，我们可以看出，方程组的解为：
\[
\begin{cases}
x_1 - 2x_3 - x_4 = 0 \\
x_2 + 2x_3 + x_4 = 0
\end{cases}
\]
即：
\[
\begin{cases}
x_1 = 2x_3 + x_4 \\
x_2 = -2x_3 - x_4
\end{cases}
\]
其中 $x_3$ 和 $x_4$ 是自由变量。令 $x_3 = 1$，$x_4 = 0$，得到一个解向量 $\begin{pmatrix}2 \\ -2 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}$；令 $x_3 = 0$，$x_4 = 1$，得到另一个解向量 $\begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}$。
这两个解向量是线性无关的，因此它们构成方程组的基础解系。方程组的通解为：
\[
k_1 \begin{pmatrix}2 \\ -2 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} + k_2 \begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}
\]
其中 $k_1$ 和 $k_2$ 是任意常数。
所以，基础解系为 $\left\{\begin{pmatrix}2 \\ -2 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}\right\}$，通解为 $\boxed{k_1 \begin{pmatrix}2 \\ -2 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} + k_2 \begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}}$。
解析
本题考查齐次线性方程组基础解系和通解的求解。解题思路是先将方程组的系数矩阵通过初等行变换化为行阶梯形矩阵，然后根据行阶梯形矩阵确定自由变量，进而得到方程组的通解表达式，最后通过给自由变量赋值求出基础解系。
- 将系数矩阵化为行阶梯形矩阵：
- 已知方程组的系数矩阵$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & -2 & -1 \\ 1 & -1 & -4 & -2 \end{pmatrix}$。
- 进行初等行变换：
- 第二行减去第一行的$2$倍，第三行减去第一行，得到$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & -3 & -6 & -3 \\ 0 & -3 & -6 & -3 \end{pmatrix}$。
- 第三行减去第二行，得到$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & -3 & -6 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$。
- 第二行除以$-3$，得到$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$。
- 第一行减去第二行的$2$倍，得到行阶梯形矩阵$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$。
- 根据行阶梯形矩阵确定方程组的解：
- 由行阶梯形矩阵可得方程组$\begin{cases} x_1 - 2x_3 - x_4 = 0 \\ x_2 + 2x_3 + x_4 = 0 \end{cases}$。
- 移项得到$\begin{cases} x_1 = 2x_3 + x_4 \\ x_2 = -2x_3 - x_4 \end{cases}$，其中$x_3$和$x_4$是自由变量。
- 求基础解系：
- 令$x_3 = 1$，$x_4 = 0$，代入$\begin{cases} x_1 = 2x_3 + x_4 \\ x_2 = -2x_3 - x_4 \end{cases}$，可得$x_1 = 2$，$x_2 = -2$，得到解向量$\begin{pmatrix}2 \\ -2 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}$。
- 令$x_3 = 0$，$x_4 = 1$，代入$\begin{cases} x_1 = 2x_3 + x_4 \\ x_2 = -2x_3 - x_4 \end{cases}$，可得$x_1 = 1$，$x_2 = -1$，得到解向量$\begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}$。
- 这两个解向量线性无关，构成方程组的基础解系。
- 求通解：
- 齐次线性方程组的通解是基础解系的线性组合，所以通解为$k_1 \begin{pmatrix}2 \\ -2 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} + k_2 \begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}$，其中$k_1$和$k_2$是任意常数。