54:32-|||-简答题(5.0分)-|||-13/20-|||-答题卡-|||-13.已知 =ln (x)^icdot (ln )^3x 求y-|||-请输入答案

考查要点：本题主要考查复合函数的求导法则，特别是涉及对数函数的导数运算。需要熟练掌握对数函数的导数公式以及链式法则的应用。

解题核心思路：

1. 拆分表达式：将函数拆分为两个部分分别求导，再相加。
2. 简化第一项：利用对数性质 $\ln x^3 = 3\ln x$，简化求导过程。
3. 链式法则应用：对第二项 $(\ln x)^3$ 使用链式法则，外层函数为 $u^3$，内层函数为 $u = \ln x$。

破题关键点：

• 正确拆分项：明确每一项的结构，避免混淆。
• 灵活运用导数公式：对数函数的导数为 $\frac{1}{x}$，幂函数的导数需结合链式法则。

已知函数 $y = \ln x^3 + (\ln x)^3$，求导数 $y'$。

第一步：拆分表达式

将函数拆分为两部分：
$y = \underbrace{\ln x^3}_{\text{第一项}} + \underbrace{(\ln x)^3}_{\text{第二项}}$

第二步：求第一项的导数

利用对数性质 $\ln x^3 = 3\ln x$，则：
$\frac{d}{dx} (\ln x^3) = \frac{d}{dx} (3\ln x) = 3 \cdot \frac{1}{x} = \frac{3}{x}$

第三步：求第二项的导数

对 $(\ln x)^3$ 使用链式法则：

1. 外层函数：$u^3$，导数为 $3u^2$。
2. 内层函数：$u = \ln x$，导数为 $\frac{1}{x}$。
   因此：
   $\frac{d}{dx} \left( (\ln x)^3 \right) = 3(\ln x)^2 \cdot \frac{1}{x} = \frac{3(\ln x)^2}{x}$

第四步：合并结果

将两部分导数相加：
$y' = \frac{3}{x} + \frac{3(\ln x)^2}{x}$