6 (10分)设f(x)=|xsin^3x|e^cos x(-infty<+infty)，证明函数f(x)在(-∞,+∞)内无界.
题目解答
答案
考虑函数 $ f(x) = |x \sin^3 x| e^{\cos x} $。
取序列 $ x_n = \frac{\pi}{2} + 2n\pi $（$ n $ 为非负整数），则
$\sin x_n = 1, \quad \cos x_n = 0 \quad \Rightarrow \quad f(x_n) = |x_n \cdot 1^3| \cdot e^0 = x_n.$
当 $ n \to \infty $ 时，$ x_n \to \infty $，故 $ f(x_n) \to \infty $。
或者，取序列 $ x_n = \frac{3\pi}{2} + 2n\pi $，同样有 $ f(x_n) = x_n \to \infty $。
结论：
函数 $ f(x) $ 在 $(-\infty, +\infty)$ 内无界。
$\boxed{\text{函数 } f(x) \text{ 在 } (-\infty, +\infty) \text{ 内无界。}}$
解析
考查要点：本题主要考查函数无界性的证明方法，需要理解无界函数的定义，并能够通过构造特定序列来说明函数值可以无限增大。
解题核心思路：
要证明函数$f(x)$在$(-\infty, +\infty)$内无界，只需找到一个数列$\{x_n\}$，使得当$n \to \infty$时，$x_n \to \infty$且$f(x_n) \to \infty$。关键在于利用三角函数的周期性，选取使$\sin x$取极值的点，使得$|x \sin^3 x|$最大化，同时$\cos x$的值为0，简化指数部分。
破题关键点：
- 选择特定点：取$x_n = \frac{\pi}{2} + 2n\pi$或$x_n = \frac{3\pi}{2} + 2n\pi$，此时$\sin x_n = \pm 1$，$\cos x_n = 0$。
- 简化函数表达式：在这些点上，$f(x_n) = |x_n| \cdot 1 = x_n$，而$x_n$随$n$增大趋于无穷大。
步骤1：构造特定序列
取序列$x_n = \frac{\pi}{2} + 2n\pi$（$n$为非负整数），此时：
- $\sin x_n = 1$，$\cos x_n = 0$，代入$f(x)$得：
$f(x_n) = |x_n \cdot 1^3| \cdot e^0 = x_n.$
步骤2：分析函数值随$n$的变化
当$n \to \infty$时，$x_n = \frac{\pi}{2} + 2n\pi \to \infty$，因此$f(x_n) = x_n \to \infty$。
步骤3：验证另一种序列
同样地，取$x_n = \frac{3\pi}{2} + 2n\pi$，此时$\sin x_n = -1$，$\cos x_n = 0$，代入$f(x)$得：
$f(x_n) = |x_n \cdot (-1)^3| \cdot e^0 = x_n.$
当$n \to \infty$时，$x_n \to \infty$，故$f(x_n) \to \infty$。
结论：无论选择哪种序列，$f(x_n)$均趋于无穷大，说明$f(x)$在$(-\infty, +\infty)$内无界。