3.设非常值函数f (x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可-|||-导,且 (a)=f(b), 证明:存在 xi in (a,b), 使-|||-得 '(xi )gt 0.

考查要点：本题主要考查导数的性质、极值的必要条件以及反证法的应用。关键在于利用函数的非恒定性与端点值相等的矛盾，推导出导数的正性。

解题思路：

1. 反证法：假设结论不成立，即假设在区间$(a,b)$内所有点的导数$f'(x) \leq 0$。
2. 导数与单调性：若$f'(x) \leq 0$恒成立，则函数$f(x)$在$[a,b]$上非递增。
3. 端点值矛盾：结合$f(a)=f(b)$，非递增函数必须恒等于常数，与“非常值函数”矛盾。
4. 结论：原假设不成立，故存在$\xi \in (a,b)$使得$f'(\xi) > 0$。

反证法假设

假设对任意$x \in (a,b)$，均有$f'(x) \leq 0$。

导数与单调性

根据导数的定义，若$f'(x) \leq 0$在$(a,b)$内恒成立，则对任意$a \leq x_1 < x_2 \leq b$，有：
$f(x_1) \geq f(x_2)$
即函数$f(x)$在$[a,b]$上非递增。

端点值矛盾

由于$f(a) = f(b)$，若函数非递增，则对所有$x \in [a,b]$，必有：
$f(x) = f(a)$
否则，若存在某点$c \in (a,b)$使得$f(c) \neq f(a)$，则：

• 若$f(c) > f(a)$，则当$x$从$a$到$c$时，函数递减，矛盾；
• 若$f(c) < f(a)$，则当$x$从$c$到$b$时，函数递减，导致$f(b) < f(a)$，与$f(a)=f(b)$矛盾。

因此，函数必须恒等于常数，与题设“非常值函数”矛盾。

结论

原假设不成立，故存在$\xi \in (a,b)$使得$f'(\xi) > 0$。