设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为Y -1 0 1-|||-X-|||--1 dfrac (1)(8) dfrac (1)(8) dfrac (1)(8)-|||-0 dfrac (1)(8) 0 dfrac (1)(8)-|||-1 dfrac (1)(8) dfrac (1)(8) dfrac (1)(8)问X与Y是否相关？是否相互独立？说明理由。

考查要点：本题主要考查二维离散型随机变量的相关性与独立性的判断方法。

解题核心思路：

1. 相关性：通过计算协方差或验证$E(XY)=E(X)E(Y)$来判断是否不相关。
2. 独立性：检查是否存在某一对$(x,y)$使得$P(X=x,Y=y) \neq P(X=x)P(Y=y)$。

破题关键点：

• 计算边缘分布：分别求出$X$和$Y$的边缘概率分布。
• 期望计算：计算$E(X)$、$E(Y)$和$E(XY)$，验证是否满足$E(XY)=E(X)E(Y)$。
• 独立性检验：重点检查联合概率与边缘概率乘积是否相等，尤其关注表格中非零概率的位置。

1. 计算边缘分布

• $X$的边缘分布：
  $\begin{aligned} P(X=-1) &= \frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8} = \frac{3}{8}, \\ P(X=0) &= \frac{1}{8}+0+\frac{1}{8} = \frac{1}{4}, \\ P(X=1) &= \frac{3}{8}. \end{aligned}$
• $Y$的边缘分布：
  $\begin{aligned} P(Y=-1) &= \frac{3}{8}, \\ P(Y=0) &= \frac{1}{4}, \\ P(Y=1) &= \frac{3}{8}. \end{aligned}$

2. 计算期望

• $E(X)$与$E(Y)$：
  $E(X) = (-1)\cdot\frac{3}{8} + 0\cdot\frac{1}{4} + 1\cdot\frac{3}{8} = 0, \quad E(Y) = 0.$
• $E(XY)$：
  遍历所有$(X,Y)$组合，计算得：
  $E(XY) = 0.$

3. 相关性判断

• 协方差：
  $\text{Cov}(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y) = 0 - 0 = 0.$
  因此，$X$与$Y$不相关。

4. 独立性判断

• 关键检验点：当$X=0$且$Y=0$时：
  $P(X=0,Y=0) = 0 \neq P(X=0)P(Y=0) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{16}.$
  因此，$X$与$Y$不独立。