3. (x)=dfrac ({e)^dfrac (1{x)}-1}({e)^dfrac (1{x)}+1}

考查要点：本题主要考查函数间断点的判断，特别是跳跃间断点的识别。需要掌握左右极限是否存在且相等的判断方法，以及不同间断类型的区分标准。

解题核心思路：

1. 确定函数的定义域：分母是否为零是关键，但本题分母恒不为零，因此间断点仅由函数未定义的位置（如分母无意义或函数表达式无定义）引起。
2. 分析间断点类型：通过计算左右极限，判断是否存在且相等。若左右极限存在但不相等，则为跳跃间断点。

破题关键点：

• 分母恒不为零：分母 $e^{\frac{1}{x}} + 1$ 恒正，因此分母不会导致间断点。
• 唯一间断点 $x=0$：函数在 $x=0$ 处无定义。
• 左右极限计算：当 $x \to 0^+$ 时，$\frac{1}{x} \to +\infty$，此时分子分母均趋近于正无穷，极限为 $1$；当 $x \to 0^-$ 时，$\frac{1}{x} \to -\infty$，此时分子趋近于 $-1$，分母趋近于 $1$，极限为 $-1$。

步骤1：确定函数的定义域

函数 $f(x) = \dfrac{e^{\frac{1}{x}} - 1}{e^{\frac{1}{x}} + 1}$ 的分母为 $e^{\frac{1}{x}} + 1$。由于 $e^{\frac{1}{x}} > 0$ 对所有 $x \neq 0$ 成立，因此分母恒不为零。但当 $x = 0$ 时，$\frac{1}{x}$ 无定义，故函数在 $x = 0$ 处无定义。

步骤2：计算左右极限

• 当 $x \to 0^+$ 时：$\frac{1}{x} \to +\infty$，此时 $e^{\frac{1}{x}} \to +\infty$，分子 $e^{\frac{1}{x}} - 1 \approx e^{\frac{1}{x}}$，分母 $e^{\frac{1}{x}} + 1 \approx e^{\frac{1}{x}}$，因此：
  $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{y \to +\infty} \frac{y - 1}{y + 1} = 1$

• 当 $x \to 0^-$ 时：$\frac{1}{x} \to -\infty$，此时 $e^{\frac{1}{x}} \to 0$，分子 $e^{\frac{1}{x}} - 1 \to -1$，分母 $e^{\frac{1}{x}} + 1 \to 1$，因此：
  $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \frac{0 - 1}{0 + 1} = -1$

步骤3：判断间断点类型

左右极限均存在但不相等（左极限为 $-1$，右极限为 $1$），因此 $x = 0$ 是跳跃间断点。