1—4 （1）假定金核半径为 7.0fm，试问：入射质子需要多少能量，才能在对头碰撞时刚好到达金核的表面？（2）若金核改为铝核，使质子在对头碰撞时刚好到达铝核的表面，那么，入射质子的能量应为多少？设铝核半径为 4.0fm。

考查要点：本题主要考查带电粒子在库仑场中的能量关系，涉及库仑势能计算及质心系能量修正的应用。

解题核心思路：

1. 第一问：质子与金核对头碰撞时，入射质子的动能需完全转化为库仑势能，此时最小距离为金核半径。直接利用库仑势能公式计算。
2. 第二问：铝核质量与质子质量相近，需考虑质心系能量。此时库仑势能公式中的能量需用质心系能量代替实验室系能量，再通过能量关系转换得到入射质子能量。

破题关键点：

• 库仑势能公式：$U = \frac{Z_1 Z_2 e^2}{4 \pi \varepsilon_0 r}$，其中$r$为最小距离。
• 质心系能量修正：当靶核质量不可忽略时，实验室系能量与质心系能量需通过质量比转换。

第（1）题：金核情况

1. 确定最小距离：质子与金核对头碰撞时，最小距离$r_m$等于金核半径$a = 7.0 \, \text{fm}$。
2. 库仑势能计算：入射质子的动能需等于库仑势能最大值：
   $E_k = \frac{Z_1 Z_2 e^2}{4 \pi \varepsilon_0 r_m}$
3. 代入数据：
   • $Z_1 = 1$（质子电荷数），$Z_2 = 79$（金核电荷数）
   • $e^2/(4 \pi \varepsilon_0) = 1.44 \, \text{MeV·fm}$
     $E_k = \frac{1 \cdot 79 \cdot 1.44}{7.0} \approx 16.25 \, \text{MeV}$

第（2）题：铝核情况

1. 质心系能量修正：铝核质量与质子质量相近，需用质心系能量$E_c$：
   $E_c = \frac{Z_1 Z_2 e^2}{4 \pi \varepsilon_0 r_m}$
2. 实验室系能量转换：实验室系入射能量$E_k$与质心系能量关系为：
   $E_k = E_c \cdot \frac{M + m}{M}$
   其中$M$为铝核质量，$m$为质子质量。因铝核质量远大于质子，近似$E_k \approx E_c$。
3. 代入数据：
   • $Z_1 = 1$，$Z_2 = 13$（铝核电荷数）
   • $r_m = 4.0 \, \text{fm}$
     $E_c = \frac{1 \cdot 13 \cdot 1.44}{4.0} \approx 4.42 \, \text{MeV}$