int dfrac (sqrt {{x)^2-9}}(x)dx

考查要点：本题主要考查三角替换法在不定积分中的应用，特别是处理形如$\sqrt{x^2 - a^2}$的积分形式。

解题核心思路：
当被积函数中出现$\sqrt{x^2 - a^2}$时，通常采用三角替换，令$x = a \sec t$，将根号内的表达式转化为$\sqrt{a^2 \tan^2 t}$，从而简化积分。关键在于正确选择替换变量，并利用三角恒等式进行化简。

破题关键点：

1. 变量替换：令$x = 3 \sec t$，将根号部分转化为$3 \tan t$。
2. 积分化简：利用$\tan^2 t = \sec^2 t - 1$将积分转化为基本三角函数的积分。
3. 变量回代：通过三角函数关系将积分结果中的$t$表示为$x$的反三角函数。

步骤1：变量替换
令$x = 3 \sec t$，则$\mathrm{d}x = 3 \sec t \tan t \, \mathrm{d}t$，且$\sqrt{x^2 - 9} = \sqrt{9 \sec^2 t - 9} = 3 \tan t$。

步骤2：代入积分
原积分变为：
$\int \frac{3 \tan t}{3 \sec t} \cdot 3 \sec t \tan t \, \mathrm{d}t = \int 3 \tan^2 t \, \mathrm{d}t.$

步骤3：化简积分
利用$\tan^2 t = \sec^2 t - 1$，得：
$\int 3 (\sec^2 t - 1) \, \mathrm{d}t = 3 \int \sec^2 t \, \mathrm{d}t - 3 \int \mathrm{d}t.$

步骤4：计算积分
分别积分：
$3 \tan t - 3 t + C.$

步骤5：变量回代
由$x = 3 \sec t$得$\sec t = \frac{x}{3}$，即$t = \arccos \left( \frac{3}{x} \right)$，且$\tan t = \frac{\sqrt{x^2 - 9}}{3}$。代入得：
$3 \cdot \frac{\sqrt{x^2 - 9}}{3} - 3 \arccos \left( \frac{3}{x} \right) + C = \sqrt{x^2 - 9} - 3 \arccos \left( \frac{3}{x} \right) + C.$