题目
给定一阶微分方程 dfrac (dy)(dx)=2x.-|||-(1)求出它的通解;-|||-(2)求通过点(1,4 )的特解;-|||-(3)求出与直线 y=2x+3 相切的解;-|||-(4)求出满足条件 (int )_(0)^1ydx=2 的解;-|||-(5)绘出(2),(3),(4)中的解的图形.
题目解答
答案
解析
步骤 1：求通解
由 $\dfrac {dy}{dx}=2x$ ,得 dy=2xdx ,方程两边积分,即得 $y={x}^{2}+c$ ,其中c为任意常数.所以,方程 $\dfrac {dy}{dx}$ .=2x 的通解为 $y={x}^{2}+c$ ,c为任意常数.
步骤 2：求通过点(1,4)的特解
把 $\left \{ \begin{matrix} x=1\\ y=4\end{matrix} \right.$ 代入 $y={x}^{2}+c$ 得 c=3 所以过点(1,4)的特解为 $y={x}^{2}+3$
步骤 3：求与直线 y=2x+3 相切的解
因为与直线相切,所以方程组 $\left \{ \begin{matrix} y={x}^{2}+c\\ y=2x+3\end{matrix} \right.$ 有且只有唯一一组解,即 ${x}^{2}+c=2x+3$ 有唯一解,故 $c=4$. 因此,与直线 y=2x+3 相切的解是 $y={x}^{2}+4$
步骤 4：求满足条件 ${\int }_{0}^{1}ydx=2$ 的解
因为 ${\int }_{a}^{1}:dx={\int }_{0}^{1}({x}^{2}+c)dx={(\dfrac {{x}^{3}}{3}+c)}^{1}=\dfrac {1}{3}+c=2$ ,所以 $c=\dfrac {5}{3}$ ,因此,满足条件 ${\int }_{0}^{1}ydx$ =2 的解为 $y={x}^{2}+\dfrac {5}{3}$
步骤 5：绘出(2),(3),(4)中的解的图形
满足(2),(3),(4)的解的图形分别如图(1.1)中的(a ),(b),(c)所示.
由 $\dfrac {dy}{dx}=2x$ ,得 dy=2xdx ,方程两边积分,即得 $y={x}^{2}+c$ ,其中c为任意常数.所以,方程 $\dfrac {dy}{dx}$ .=2x 的通解为 $y={x}^{2}+c$ ,c为任意常数.
步骤 2：求通过点(1,4)的特解
把 $\left \{ \begin{matrix} x=1\\ y=4\end{matrix} \right.$ 代入 $y={x}^{2}+c$ 得 c=3 所以过点(1,4)的特解为 $y={x}^{2}+3$
步骤 3：求与直线 y=2x+3 相切的解
因为与直线相切,所以方程组 $\left \{ \begin{matrix} y={x}^{2}+c\\ y=2x+3\end{matrix} \right.$ 有且只有唯一一组解,即 ${x}^{2}+c=2x+3$ 有唯一解,故 $c=4$. 因此,与直线 y=2x+3 相切的解是 $y={x}^{2}+4$
步骤 4：求满足条件 ${\int }_{0}^{1}ydx=2$ 的解
因为 ${\int }_{a}^{1}:dx={\int }_{0}^{1}({x}^{2}+c)dx={(\dfrac {{x}^{3}}{3}+c)}^{1}=\dfrac {1}{3}+c=2$ ,所以 $c=\dfrac {5}{3}$ ,因此,满足条件 ${\int }_{0}^{1}ydx$ =2 的解为 $y={x}^{2}+\dfrac {5}{3}$
步骤 5：绘出(2),(3),(4)中的解的图形
满足(2),(3),(4)的解的图形分别如图(1.1)中的(a ),(b),(c)所示.