题目
设 f(x)=} (pi)/(4), & -pi leq x A. f(x) 的傅里叶级数在 x = -(pi)/(2) 处收敛于 (pi)/(4)B. f(x) 的傅里叶级数在 x = (pi)/(2) 处收敛于 -(pi)/(2)C. f(x) 的傅里叶级数在 x = 0 处收敛于 0D. f(x) 的傅里叶级数在 x = -pi 处收敛于 -(pi)/(8)
设 $f(x)=\begin{cases} \frac{\pi}{4}, & -\pi \leq x < 0, \\ 0, & x = 0 \\ -\frac{\pi}{2}, & 0 < x \leq \pi \end{cases}$，则由收敛定理不正确的是
A. $f(x)$ 的傅里叶级数在 $x = -\frac{\pi}{2}$ 处收敛于 $\frac{\pi}{4}$
B. $f(x)$ 的傅里叶级数在 $x = \frac{\pi}{2}$ 处收敛于 $-\frac{\pi}{2}$
C. $f(x)$ 的傅里叶级数在 $x = 0$ 处收敛于 $0$
D. $f(x)$ 的傅里叶级数在 $x = -\pi$ 处收敛于 $-\frac{\pi}{8}$
题目解答
答案
C. $f(x)$ 的傅里叶级数在 $x = 0$ 处收敛于 $0$
解析
步骤 1：傅里叶级数收敛定理
傅里叶级数收敛定理指出，如果函数 $f(x)$ 在区间 $[-\pi, \pi]$ 上是分段连续的，那么它的傅里叶级数在每个点 $x$ 处收敛到 $f(x)$ 的平均值，即 $\frac{f(x^+) + f(x^-)}{2}$，其中 $f(x^+)$ 和 $f(x^-)$ 分别表示 $f(x)$ 在 $x$ 处的右极限和左极限。
步骤 2：分析选项 A
对于 $x = -\frac{\pi}{2}$，$f(x)$ 在该点的左极限和右极限都是 $\frac{\pi}{4}$，因此傅里叶级数在 $x = -\frac{\pi}{2}$ 处收敛于 $\frac{\pi}{4}$，选项 A 正确。
步骤 3：分析选项 B
对于 $x = \frac{\pi}{2}$，$f(x)$ 在该点的左极限和右极限都是 $-\frac{\pi}{2}$，因此傅里叶级数在 $x = \frac{\pi}{2}$ 处收敛于 $-\frac{\pi}{2}$，选项 B 正确。
步骤 4：分析选项 C
对于 $x = 0$，$f(x)$ 在该点的左极限是 $\frac{\pi}{4}$，右极限是 $-\frac{\pi}{2}$，因此傅里叶级数在 $x = 0$ 处收敛于 $\frac{\frac{\pi}{4} + (-\frac{\pi}{2})}{2} = -\frac{\pi}{8}$，选项 C 不正确。
步骤 5：分析选项 D
对于 $x = -\pi$，$f(x)$ 在该点的左极限和右极限都是 $\frac{\pi}{4}$，因此傅里叶级数在 $x = -\pi$ 处收敛于 $\frac{\pi}{4}$，选项 D 不正确。
傅里叶级数收敛定理指出，如果函数 $f(x)$ 在区间 $[-\pi, \pi]$ 上是分段连续的，那么它的傅里叶级数在每个点 $x$ 处收敛到 $f(x)$ 的平均值，即 $\frac{f(x^+) + f(x^-)}{2}$，其中 $f(x^+)$ 和 $f(x^-)$ 分别表示 $f(x)$ 在 $x$ 处的右极限和左极限。
步骤 2：分析选项 A
对于 $x = -\frac{\pi}{2}$，$f(x)$ 在该点的左极限和右极限都是 $\frac{\pi}{4}$，因此傅里叶级数在 $x = -\frac{\pi}{2}$ 处收敛于 $\frac{\pi}{4}$，选项 A 正确。
步骤 3：分析选项 B
对于 $x = \frac{\pi}{2}$，$f(x)$ 在该点的左极限和右极限都是 $-\frac{\pi}{2}$，因此傅里叶级数在 $x = \frac{\pi}{2}$ 处收敛于 $-\frac{\pi}{2}$，选项 B 正确。
步骤 4：分析选项 C
对于 $x = 0$，$f(x)$ 在该点的左极限是 $\frac{\pi}{4}$，右极限是 $-\frac{\pi}{2}$，因此傅里叶级数在 $x = 0$ 处收敛于 $\frac{\frac{\pi}{4} + (-\frac{\pi}{2})}{2} = -\frac{\pi}{8}$，选项 C 不正确。
步骤 5：分析选项 D
对于 $x = -\pi$，$f(x)$ 在该点的左极限和右极限都是 $\frac{\pi}{4}$，因此傅里叶级数在 $x = -\pi$ 处收敛于 $\frac{\pi}{4}$，选项 D 不正确。