4.设随机变量X~U(2,5)，现对X进行3次独立观测，试求至少2次观测值大于3的概率.

本题主要考查均匀分布和二项分布的相关知识。解题思路如下：

1. 首先，根据均匀分布的概率计算公式求出一次观测中随机变量 $X$ 的观测值大于 $3$ 的概率。
2. 然后，由于进行了 $3$ 次独立观测，可将每次观测看作一次独立的伯努利试验，大于 $3$ 记为“成功”，不大于 $3$ 记为“失败”，那么大于 $3$ 的次数 $Y$ 服从二项分布。
3. 最后，根据二项分布的概率公式计算至少 $2$ 次观测值大于 $3$ 的概率，即 $P(Y\geq2)=PP(Y = 2)+P(Y = 3)$ 。

下面进行详细的解答：

1. 计算一次观测中 $X$ 的观测值大于 $3$ 的概率：
   已知随机变量 $X\sim U(2,5)$，对于均匀分布 $U(a,b)$，其概率密度函数为 $f(x)=\begin{cases}\frac{1}{b - a},&a\lt x\lt b\\0,&\text{其他}\end{cases}$，则 $X$ 的概率密度函数为 $f(x)=\begin{cases}\frac{1}{5 - 2}=\frac{1}{3},&2\lt x\lt 5\\0,&\text{其他}\end{cases}$。
   根据概率的计算公式 $P(X\gt3)=\int_{3}^{+\infty}f(x)dx$，结合 $f(x)$ 的表达式可得：
   $P(X\gt3)=\int_{3}^{5}\frac{1}{3}dx=\frac{1}{3}x\big|_{3}^{5}=\frac{1}{3}\times(5 - 3)=\frac{2}{3}$。
2. 确定大于 $3$ 的次数 $Y$ 服从的分布：
   进行 $3$ 次独立观测，每次观测中 $X$ 的观测值大于 $3$ 的概率为 $p = \frac{2}{3}$，不大于 $3$ 的概率为 $1 - p = 1 - \frac{2}{3}=\frac{1}{3}$。
   设 $Y$ 表示 $3$ 次观测中大于 $3$ 的次数，则 $Y\sim B(3,\frac{2}{3})$，其中 $B(n,p)$ 表示参数为 $n$ 和 $p$ 的二项分布，二项分布的概率公式为 $P(Y = k)=\binom{n}{k}p^{k}(1 - p)^{n - k}$，$k = 0,1,\cdots,n$，$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n - k)!}$。
3. 计算至少 $2$ 次观测值大于 $3$ 的概率：
   至少 $2$ 次观测值大于 $3$ 即 $Y\geq2$，那么 $P(Y\geq2)=P(Y = 2)+P(Y = 3)$。
   • 计算 $P(Y = 2)$：
     将 $n = 3$，$k = 2$，$p = \frac{2}{3}$ 代入二项分布的概率公式可得：
     $P(Y = 2)=\binom{3}{2}(\frac{2}{3})^{2}(\frac{1}{3})^{3 - 2}=\frac{3!}{2!(3 - 2)!}\times\frac{4}{9}\times\frac{1}{3}=3\times\frac{4}{9}\times\frac{1}{3}=\frac{12}{27}$。
   • 计算 $P(Y = 3)$：
     将 $n = 3$，$k = 3$，$p = \frac{2}{3}$ 代入二项分布的概率公式可得：
     $P(Y = 3)=\binom{3}{3}(\frac{2}{3})^{3}(\frac{1}{3})^{3 - 3}=\frac{3!}{3!(3 - 3)!}\times\frac{8}{27}\times1 = 1\times\frac{8}{27}\times1=\frac{8}{27}$。
   • 计算 $P(Y\geq2)$：
     $P(Y\geq2)=P(Y = 2)+P(Y = 3)=\frac{12}{27}+\frac{8}{27}=\frac{20}{27}$。