题目
在某公共汽车站,甲、乙、丙三人分别独立地等 1,2,3 路汽车,设每个人 等车时间(单位:分钟)均服从 [0, 5] 上的均匀分布,求 (1) 一个人等车不超过 2 分钟的概率; (2) 三人中至少有两个人等车不超过 2 分钟的概率 .
在某公共汽车站,甲、乙、丙三人分别独立地等 1,2,3 路汽车,设每个人 等车时间(单位:分钟)均服从 [0, 5] 上的均匀分布,求 (1) 一个人等车不超过 2 分钟的概率; (2) 三人中至少有两个人等车不超过 2 分钟的概率 .
题目解答
答案
解: (1) 设 X 表示一个人等车的时间,则 X ~ U [0 , 5] ,其概率密度为:
.
一个人等车不超过 2 分钟的概率为: 
;
(2) 设 Y 表示三个人中等车不超过 2 分钟的人数,则 Y ~ B (3 , 0.4).
三人中至少有两个人等车不超过 2 分钟的概率为:
.
解析
步骤 1：定义随机变量
设 X 表示一个人等车的时间，因为每个人等车时间均服从 [0, 5] 上的均匀分布，所以 X ~ U [0 , 5]，其概率密度函数为：
$f(x)=$ $\left \{ \begin{matrix} \dfrac {1}{5},0\leqslant x\leqslant 5\\ 0,\end{matrix} \right.$.
步骤 2：计算一个人等车不超过 2 分钟的概率
一个人等车不超过 2 分钟的概率为：$p=P(X\leqslant 2)={\int }_{0}^{2}\dfrac {1}{5}dx$.
步骤 3：计算三人中至少有两个人等车不超过 2 分钟的概率
设 Y 表示三个人中等车不超过 2 分钟的人数，因为每个人等车不超过 2 分钟的概率为 0.4，所以 Y ~ B (3 , 0.4). 三人中至少有两个人等车不超过 2 分钟的概率为：$P(Y\geqslant 2)=P(Y=2)+P(Y=3)$.
设 X 表示一个人等车的时间，因为每个人等车时间均服从 [0, 5] 上的均匀分布，所以 X ~ U [0 , 5]，其概率密度函数为：
$f(x)=$ $\left \{ \begin{matrix} \dfrac {1}{5},0\leqslant x\leqslant 5\\ 0,\end{matrix} \right.$.
步骤 2：计算一个人等车不超过 2 分钟的概率
一个人等车不超过 2 分钟的概率为：$p=P(X\leqslant 2)={\int }_{0}^{2}\dfrac {1}{5}dx$.
步骤 3：计算三人中至少有两个人等车不超过 2 分钟的概率
设 Y 表示三个人中等车不超过 2 分钟的人数，因为每个人等车不超过 2 分钟的概率为 0.4，所以 Y ~ B (3 , 0.4). 三人中至少有两个人等车不超过 2 分钟的概率为：$P(Y\geqslant 2)=P(Y=2)+P(Y=3)$.