题目
1.已知随机变量X的概率密度为-|||-f(x)= ) x,0leqslant xlt 1, 2-x,1leqslant xlt 2, 0, .
题目解答
答案
解析
步骤 1：求分布函数F(x)
分布函数F(x)定义为随机变量X小于等于x的概率，即 $F(x)=P(X\leqslant x)$。根据概率密度函数f(x)的定义，分布函数F(x)可以通过对f(x)从负无穷到x进行积分得到。
步骤 2：计算分布函数F(x)的各段
- 当 $x<0$ 时，$F(x)=0$，因为f(x)在x<0时为0。
- 当 $0\leqslant x<1$ 时，$F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt=\int_{0}^{x}tdt=\dfrac{1}{2}x^2$。
- 当 $1\leqslant x<2$ 时，$F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt=\int_{0}^{1}tdt+\int_{1}^{x}(2-t)dt=\dfrac{1}{2}+\left[2x-\dfrac{1}{2}x^2\right]_{1}^{x}=\dfrac{1}{2}x^2+2x-1$。
- 当 $x\geqslant 2$ 时，$F(x)=1$，因为f(x)在x≥2时为0，且分布函数F(x)在x→∞时趋于1。
步骤 3：计算概率 $P\{ X\lt 0.5\} $ $P\{ X\gt 1.3\} $ $P\{ 0.2\lt X\leqslant 1.2\} $
- $P\{ X\lt 0.5\} =F(0.5)=\dfrac{1}{2}(0.5)^2=\dfrac{1}{8}$。
- $P\{ X\gt 1.3\} =1-F(1.3)=1-\left(\dfrac{1}{2}(1.3)^2+2(1.3)-1\right)=0.245$。
- $P\{ 0.2\lt X\leqslant 1.2\} =F(1.2)-F(0.2)=\left(\dfrac{1}{2}(1.2)^2+2(1.2)-1\right)-\dfrac{1}{2}(0.2)^2=0.66$。
分布函数F(x)定义为随机变量X小于等于x的概率，即 $F(x)=P(X\leqslant x)$。根据概率密度函数f(x)的定义，分布函数F(x)可以通过对f(x)从负无穷到x进行积分得到。
步骤 2：计算分布函数F(x)的各段
- 当 $x<0$ 时，$F(x)=0$，因为f(x)在x<0时为0。
- 当 $0\leqslant x<1$ 时，$F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt=\int_{0}^{x}tdt=\dfrac{1}{2}x^2$。
- 当 $1\leqslant x<2$ 时，$F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt=\int_{0}^{1}tdt+\int_{1}^{x}(2-t)dt=\dfrac{1}{2}+\left[2x-\dfrac{1}{2}x^2\right]_{1}^{x}=\dfrac{1}{2}x^2+2x-1$。
- 当 $x\geqslant 2$ 时，$F(x)=1$，因为f(x)在x≥2时为0，且分布函数F(x)在x→∞时趋于1。
步骤 3：计算概率 $P\{ X\lt 0.5\} $ $P\{ X\gt 1.3\} $ $P\{ 0.2\lt X\leqslant 1.2\} $
- $P\{ X\lt 0.5\} =F(0.5)=\dfrac{1}{2}(0.5)^2=\dfrac{1}{8}$。
- $P\{ X\gt 1.3\} =1-F(1.3)=1-\left(\dfrac{1}{2}(1.3)^2+2(1.3)-1\right)=0.245$。
- $P\{ 0.2\lt X\leqslant 1.2\} =F(1.2)-F(0.2)=\left(\dfrac{1}{2}(1.2)^2+2(1.2)-1\right)-\dfrac{1}{2}(0.2)^2=0.66$。