题目
68.判断题 (1分)若函数f(x) 在区间[-a,a] 上连续，且f(-x)=-f(x)，则 int_(-a)^a f(x)dx=0.（）√ ×
68.判断题 (1分)
若函数f(x) 在区间[-a,a] 上连续，且
f(-x)=-f(x)，则 $\int_{-a}^{a} f(x)dx=0$.（）
√ ×
题目解答
答案
为了判断题目中给出的陈述是否正确，我们需要分析函数 $ f(x) $ 的性质以及它们对定积分的影响。题目指出，函数 $ f(x) $ 在区间 $[-a, a]$ 上连续，且 $ f(-x) = -f(x) $。这意味着 $ f(x) $ 是一个奇函数。
奇函数的定义是对于 $ f $ 的定义域中的所有 $ x $，有 $ f(-x) = -f(x) $。奇函数的一个重要性质是，它们在关于原点对称的区间上的积分等于零。这是因为奇函数的图像关于原点对称，因此在原点两侧的面积相等但符号相反，从而在积分时相互抵消。
让我们考虑积分 $ \int_{-a}^{a} f(x) \, dx $。我们可以将这个积分分成两部分：
\[
\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = \int_{-a}^{0} f(x) \, dx + \int_{0}^{a} f(x) \, dx.
\]
对于第一部分积分 $ \int_{-a}^{0} f(x) \, dx $，我们可以使用代换 $ u = -x $。当 $ x = -a $ 时，$ u = a $；当 $ x = 0 $ 时，$ u = 0 $。同时，$ dx = -du $。因此，积分变为：
\[
\int_{-a}^{0} f(x) \, dx = \int_{a}^{0} f(-u) \, (-du) = \int_{a}^{0} -f(u) \, (-du) = \int_{a}^{0} f(u) \, du = -\int_{0}^{a} f(u) \, du.
\]
由于积分变量的名称不重要，我们可以将 $ u $ 替换为 $ x $：
\[
\int_{-a}^{0} f(x) \, dx = -\int_{0}^{a} f(x) \, dx.
\]
现在，将这个结果代回原积分，我们得到：
\[
\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = \int_{-a}^{0} f(x) \, dx + \int_{0}^{a} f(x) \, dx = -\int_{0}^{a} f(x) \, dx + \int_{0}^{a} f(x) \, dx = 0.
\]
因此，题目中给出的陈述是正确的。答案是：
\[
\boxed{\sqrt{}}
\]
解析
步骤 1：理解奇函数的性质
奇函数的定义是对于 $f$ 的定义域中的所有 $x$，有 $f(-x) = -f(x)$。奇函数的一个重要性质是，它们在关于原点对称的区间上的积分等于零。这是因为奇函数的图像关于原点对称，因此在原点两侧的面积相等但符号相反，从而在积分时相互抵消。
步骤 2：将积分分成两部分
考虑积分 $\int_{-a}^{a} f(x) \, dx$。我们可以将这个积分分成两部分： \[ \int_{-a}^{a} f(x) \, dx = \int_{-a}^{0} f(x) \, dx + \int_{0}^{a} f(x) \, dx. \]
步骤 3：利用奇函数的性质
对于第一部分积分 $\int_{-a}^{0} f(x) \, dx$，我们可以使用代换 $u = -x$。当 $x = -a$ 时，$u = a$；当 $x = 0$ 时，$u = 0$。同时，$dx = -du$。因此，积分变为： \[ \int_{-a}^{0} f(x) \, dx = \int_{a}^{0} f(-u) \, (-du) = \int_{a}^{0} -f(u) \, (-du) = \int_{a}^{0} f(u) \, du = -\int_{0}^{a} f(u) \, du. \] 由于积分变量的名称不重要，我们可以将 $u$ 替换为 $x$： \[ \int_{-a}^{0} f(x) \, dx = -\int_{0}^{a} f(x) \, dx. \]
步骤 4：计算整个积分
现在，将这个结果代回原积分，我们得到： \[ \int_{-a}^{a} f(x) \, dx = \int_{-a}^{0} f(x) \, dx + \int_{0}^{a} f(x) \, dx = -\int_{0}^{a} f(x) \, dx + \int_{0}^{a} f(x) \, dx = 0. \]
奇函数的定义是对于 $f$ 的定义域中的所有 $x$，有 $f(-x) = -f(x)$。奇函数的一个重要性质是，它们在关于原点对称的区间上的积分等于零。这是因为奇函数的图像关于原点对称，因此在原点两侧的面积相等但符号相反，从而在积分时相互抵消。
步骤 2：将积分分成两部分
考虑积分 $\int_{-a}^{a} f(x) \, dx$。我们可以将这个积分分成两部分： \[ \int_{-a}^{a} f(x) \, dx = \int_{-a}^{0} f(x) \, dx + \int_{0}^{a} f(x) \, dx. \]
步骤 3：利用奇函数的性质
对于第一部分积分 $\int_{-a}^{0} f(x) \, dx$，我们可以使用代换 $u = -x$。当 $x = -a$ 时，$u = a$；当 $x = 0$ 时，$u = 0$。同时，$dx = -du$。因此，积分变为： \[ \int_{-a}^{0} f(x) \, dx = \int_{a}^{0} f(-u) \, (-du) = \int_{a}^{0} -f(u) \, (-du) = \int_{a}^{0} f(u) \, du = -\int_{0}^{a} f(u) \, du. \] 由于积分变量的名称不重要，我们可以将 $u$ 替换为 $x$： \[ \int_{-a}^{0} f(x) \, dx = -\int_{0}^{a} f(x) \, dx. \]
步骤 4：计算整个积分
现在，将这个结果代回原积分，我们得到： \[ \int_{-a}^{a} f(x) \, dx = \int_{-a}^{0} f(x) \, dx + \int_{0}^{a} f(x) \, dx = -\int_{0}^{a} f(x) \, dx + \int_{0}^{a} f(x) \, dx = 0. \]