(3)收敛, lim _(narrow infty )(2+dfrac (1)({n)^2})=2 --|||-(4)收敛, lim _(narrow infty )dfrac (n-1)(n+1)=1 .-|||-(5) n{(-1))^n} 发散.-|||-(6)收敛, lim _(narrow infty )dfrac ({2)^n-1}({3)^n}=0 --|||-(7) n-dfrac {1)(n)} UNDUND.

考查要点：数列收敛性的判断，重点在于分析通项公式中不同组成部分的极限趋势。

解题核心思路：

1. 识别通项中的关键项：若通项包含$\frac{1}{n}$、$\frac{1}{n^2}$或指数衰减项（如$a^n$，$|a|<1$），则可能收敛；若包含$n^k$（$k>0$）或指数增长项（如$a^n$，$|a|>1$），则可能发散。
2. 化简表达式：通过分子分母同除以最高次项、拆分项等方式简化极限计算。
3. 符号交替的影响：符号交替（如$(-1)^n$）本身不影响收敛性，但若与发散项结合（如$n(-1)^n$），则整体发散。

(3) $\lim _{n\rightarrow \infty }\left(2+\dfrac {1}{{n}^{2}}\right)$

分析关键项

通项为$2 + \frac{1}{n^2}$，其中$\frac{1}{n^2}$是高阶无穷小。

计算极限

当$n \to \infty$时，$\frac{1}{n^2} \to 0$，因此极限为$2 + 0 = 2$。

(4) $\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {n-1}{n+1}$

化简表达式

分子分母同除以$n$，得$\frac{1 - \frac{1}{n}}{1 + \frac{1}{n}}$。

计算极限

当$n \to \infty$时，$\frac{1}{n} \to 0$，因此极限为$\frac{1 - 0}{1 + 0} = 1$。

(5) $\{ n{(-1)}^{n} \}$

分析绝对值趋势

绝对值为$|n(-1)^n| = n$，当$n \to \infty$时，$n \to \infty$。

结论

数列无界，故发散。

(6) $\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {{2}^{n}-1}{{3}^{n}}$

拆分项

表达式可拆分为$\frac{2^n}{3^n} - \frac{1}{3^n}$。

分析指数项

$\frac{2}{3} < 1$，故$\left(\frac{2}{3}\right)^n \to 0$；$\frac{1}{3^n} \to 0$。

合并结果

极限为$0 - 0 = 0$。

(7) $\{ n - \dfrac {1}{n} \}$

分析主导项

当$n \to \infty$时，$n$趋向于$\infty$，而$\frac{1}{n} \to 0$。

结论

整体趋向于$\infty$，故发散。