题目

8.设函数 (x)=(x)^3+a(x)^2+bx+c 在 x=3 处取得极值,且点(2,4)是曲线 y=f(x) 的拐点,则a,b,c-|||-的值分别是 __

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查函数的极值和拐点的性质，以及如何通过导数条件建立方程组求解参数。

解题核心思路：

  1. 极值条件：函数在极值点处的一阶导数为零；
  2. 拐点条件：函数在拐点处的二阶导数为零，且拐点坐标满足原函数；
  3. 联立方程：利用上述条件建立关于$a$、$b$、$c$的方程组，解出参数值。

破题关键点：

  • 正确求导：分别求出一阶导数$f'(x)$和二阶导数$f''(x)$；
  • 代入条件：将极值点$x=3$代入$f'(x)=0$，将拐点$(2,4)$代入$f''(x)=0$和$f(2)=4$；
  • 解方程组：通过代入已知值逐步消元，最终求出$a$、$b$、$c$。

步骤1：求导并建立方程

  1. 一阶导数：
    $f'(x) = 3x^2 + 2a x + b$
    根据极值条件$f'(3)=0$，代入$x=3$：
    $3 \cdot 3^2 + 2a \cdot 3 + b = 0 \quad \Rightarrow \quad 27 + 6a + b = 0 \quad \text{(方程1)}$

  2. 二阶导数：
    $f''(x) = 6x + 2a$
    根据拐点条件$f''(2)=0$，代入$x=2$：
    $6 \cdot 2 + 2a = 0 \quad \Rightarrow \quad 12 + 2a = 0 \quad \Rightarrow \quad a = -6 \quad \text{(方程2)}$

步骤2：代入$a$求$b$和$c$

  1. 代入$a=-6$到方程1：
    $27 + 6(-6) + b = 0 \quad \Rightarrow \quad 27 - 36 + b = 0 \quad \Rightarrow \quad b = 9$

  2. 利用拐点坐标$(2,4)$代入原函数：
    $f(2) = 2^3 + a \cdot 2^2 + b \cdot 2 + c = 4$
    代入$a=-6$和$b=9$：
    $8 + (-6) \cdot 4 + 9 \cdot 2 + c = 4 \quad \Rightarrow \quad 8 - 24 + 18 + c = 4 \quad \Rightarrow \quad 2b + c = 20$
    进一步化简得：
    $2 \cdot 9 + c = 20 \quad \Rightarrow \quad c = 2$