10.函数 (z)=u(x,y)+i(x,y) 在 _(0)=(x)_(0)+(y)_(0) 处连续的充要条件是 () .-|||-A.u(x,y)在点(x0,y0 )处连续-|||-B.v(x,y)在点(x0,y0)处连续-|||-C.u(x,y)和v(x,y)都在点(x0,y0)处连续-|||-D. u(x,y)+v(x,y) 在点(x0,y0)处连续

考查要点：本题主要考查复变函数连续性的充要条件，涉及实部和虚部分别连续的关系。

解题核心思路：复变函数$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$的连续性需要其实部$u(x,y)$和虚部$v(x,y)$同时连续。因为复数的极限要求实部和虚部分别收敛到对应部分的值，因此两者必须独立满足连续性。

破题关键点：

1. 复变函数连续性的定义：$f(z)$在$z_0$处连续当且仅当$u(x,y)$和$v(x,y)$在$(x_0,y_0)$处分别连续。
2. 排除干扰选项：选项A、B仅考虑单一部分连续，选项D的和连续无法保证各部分连续。

复变函数$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$在点$z_0=x_0+y_0i$处连续的充要条件是：

1. 必要性：若$f(z)$在$z_0$处连续，则对任意$(x,y)\to(x_0,y_0)$，有：
   $\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} f(z) = f(z_0).$
   根据复数相等的定义，实部和虚部分别收敛：
   $\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} u(x,y) = u(x_0,y_0), \quad \lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} v(x,y) = v(x_0,y_0).$
   因此，$u$和$v$必须同时连续。

2. 充分性：若$u$和$v$在$(x_0,y_0)$处连续，则：
   $\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} [u(x,y)+iv(x,y)] = u(x_0,y_0) + iv(x_0,y_0) = f(z_0).$
   故$f(z)$在$z_0$处连续。

选项分析：

• A、B：仅保证单一部分连续，另一部分可能不连续，整体不连续。
• D：$u+v$连续无法推出$u$和$v$各自连续（例如$u$和$v$的不连续性可能相互抵消）。