题目

计算极限lim _(xarrow 0)dfrac (xsin x+2cos x-2)({x)^2-(x)^2cos x}。

计算极限 $\lim_{x \to 0} \frac{xsinx+2cosx-2}{x^{2}-x^{2}cosx }$ 。

题目解答

答案

答案： $\lim_{x \to 0} \frac{xsinx+2cosx-2}{x^{2}-x^{2}cosx } =-\frac{1}{6}$

由题意得：

$\lim_{x \to 0} \frac{xsinx+2cosx-2}{x^{2}-x^{2}cosx } =\lim_{x \to 0} \frac{xsinx+2\left ( cosx-1 \right ) }{x^{2 } \left ( 1-cosx \right ) }$

$= \lim_{x \to 0} \frac{x\left ( x-\frac{1}{6} x^{3} +o\left (x^{3} \right ) \right ) +2\left ( 1-\frac{x^{2} }{2}+\frac{x^{4} }{24} +o\left ( x^{4} \right ) -1 \right ) }{x^{2} \cdot \frac{1}{2}x^{2} }$

$=\lim_{x \to 0} \frac{-\frac{1}{12} x^{4}+o\left ( x^{4} \right ) }{\frac{1}{2}x^{4} }$

$=-\frac{1}{6}$