1 1 λ {x1 1-|||-(8)已知线性方程组 1 λ 1 x2 = 0 有两个不同的解,则 __-|||-λ 1 1 x3 J -1-|||-(A) neq 1 且 neq -2 (B) lambda =1 或 -2 (C) lambda =1 (D) lambda =-2

考查要点：本题主要考查线性方程组解的情况判断，涉及行列式的计算、矩阵秩的分析以及增广矩阵的应用。

解题核心思路：

1. 行列式为零：当线性方程组有无穷多解或无解时，系数矩阵的行列式必为零，因此需先求出行列式并令其等于零，得到可能的$\lambda$值。
2. 解的存在性：当行列式为零时，需进一步判断方程组是否有解。此时需比较系数矩阵和增广矩阵的秩，若秩相等则有解，否则无解。
3. 关键结论：通过计算发现，当$\lambda=-2$时，方程组有无穷解；而$\lambda=1$时方程组无解，因此正确答案为$\lambda=-2$。

步骤1：计算系数矩阵的行列式

系数矩阵为：
$A = \begin{pmatrix}1 & 1 & \lambda \\1 & \lambda & 1 \\\lambda & 1 & 1\end{pmatrix}$
通过行变换化简行列式：

1. 第二行减去第一行，第三行减去$\lambda$倍第一行，得到：
   $\begin{pmatrix}1 & 1 & \lambda \\0 & \lambda-1 & 1-\lambda \\0 & 1-\lambda & 1-\lambda^2\end{pmatrix}$
2. 第三行加上第二行，进一步化简为：
   $\begin{pmatrix}1 & 1 & \lambda \\0 & \lambda-1 & 1-\lambda \\0 & 0 & 2-\lambda^2-\lambda\end{pmatrix}$
3. 行列式为对角线元素乘积：
   $\det(A) = (\lambda-1)(2-\lambda^2-\lambda) = -(\lambda-1)^2(\lambda+2)$

步骤2：分析行列式为零的条件

令$\det(A)=0$，解得：
$\lambda = 1 \quad \text{或} \quad \lambda = -2$

步骤3：判断方程组是否有解

• 当$\lambda=1$时：
  系数矩阵秩为1，增广矩阵秩为3，矛盾，方程组无解。

• 当$\lambda=-2$时：
  系数矩阵秩为2，增广矩阵秩也为2，方程组有无穷解。