设 (2xcos y + y^2 cos x)dx + (2ysin x - x^2 sin y)dy 在整个平面内是某二元函数 u(x, y) 的全微分，求出一个 u(x, y).A. x^2 sin y - y^2 sin xB. x^2 sin y - y^2 cos xC. x^2 sin y + y^2 sin xD. y^2 sin x + x^2 cos y

步骤 1：确定全微分形式
设 $ u(x, y) $ 的全微分为 $ du = Pdx + Qdy $，其中 $$ P = 2x\cos y + y^2\cos x, \quad Q = 2y\sin x - x^2\sin y. $$

步骤 2：对 $ P $ 关于 $ x $ 积分
对 $ P $ 关于 $ x $ 积分，得到 $$ u(x, y) = \int P \, dx = x^2\cos y + y^2\sin x + f(y). $$

步骤 3：求偏导并令等于 $ Q $
求偏导并令等于 $ Q $，得到 $$ \frac{\partial u}{\partial y} = -x^2\sin y + 2y\sin x + f'(y) = Q \implies f'(y) = 0 \implies f(y) = C. $$

步骤 4：确定 $ u(x, y) $
取 $ C = 0 $，得 $$ u(x, y) = x^2\cos y + y^2\sin x. $$

步骤 5：对 $ Q $ 关于 $ y $ 积分
对 $ Q $ 关于 $ y $ 积分，得到 $$ u(x, y) = \int Q \, dy = y^2\sin x + x^2\cos y + g(x). $$

步骤 6：求偏导并令等于 $ P $
求偏导并令等于 $ P $，得到 $$ \frac{\partial u}{\partial x} = y^2\cos x + 2x\cos y + g'(x) = P \implies g'(x) = 0 \implies g(x) = C. $$

步骤 7：确定 $ u(x, y) $
取 $ C = 0 $，得 $$ u(x, y) = y^2\sin x + x^2\cos y. $$

步骤 8：验证两种方法结果等价
两种方法结果等价，对应选项 **D**。