题目
2.设X~π(λ)，已知E(X-1)(X-2)=1，求λ等于多少？
2.设X~π(λ)，已知E(X-1)(X-2)=1，求λ等于多少？
题目解答
答案
为了解决这个问题，我们首先回顾泊松分布的定义和性质。如果 $X \sim \pi(\lambda)$，那么 $X$ 的期望值 $E(X)$ 等于 $\lambda$，$X$ 的方差 $Var(X)$ 也等于 $\lambda$。此外，泊松分布的矩可以使用期望值的性质来表示。
已知 $E[(X-1)(X-2)] = 1$，我们首先展开表达式 $(X-1)(X-2)$：
\[
(X-1)(X-2) = X^2 - 3X + 2.
\]
因此，我们有：
\[
E[(X-1)(X-2)] = E[X^2 - 3X + 2] = E[X^2] - 3E[X] + 2.
\]
我们知道 $E[X] = \lambda$。为了找到 $E[X^2]$，我们使用方差的公式：
\[
Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2.
\]
由于 $Var(X) = \lambda$，我们有：
\[
\lambda = E[X^2] - \lambda^2 \implies E[X^2] = \lambda + \lambda^2.
\]
将 $E[X^2]$ 和 $E[X]$ 代入 $E[(X-1)(X-2)]$ 的表达式中，我们得到：
\[
E[(X-1)(X-2)] = (\lambda + \lambda^2) - 3\lambda + 2 = \lambda^2 - 2\lambda + 2.
\]
已知 $E[(X-1)(X-2)] = 1$，因此我们有：
\[
\lambda^2 - 2\lambda + 2 = 1.
\]
从两边减去1，我们得到一个二次方程：
\[
\lambda^2 - 2\lambda + 1 = 0.
\]
这个二次方程可以分解为：
\[
(\lambda - 1)^2 = 0.
\]
因此，解为：
\[
\lambda = 1.
\]
所以，$\lambda$ 的值是 $\boxed{1}$。
解析
考查要点：本题主要考查泊松分布的性质及其矩的计算，需要学生掌握期望与方差的关系，并能灵活运用代数运算展开表达式。
解题核心思路：
- 展开表达式：将$(X-1)(X-2)$展开为二次多项式形式。
- 利用期望的线性性：将展开后的表达式代入期望，拆分为$E(X^2)$、$E(X)$和常数项的组合。
- 结合泊松分布的性质：利用泊松分布的期望$E(X)=\lambda$和方差$Var(X)=\lambda$，推导出$E(X^2)$的表达式。
- 建立方程求解：将已知条件代入方程，解二次方程得到$\lambda$的值。
破题关键点：
- 正确展开多项式是基础步骤，避免展开错误。
- 灵活运用方差公式$Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$，将$E(X^2)$用$\lambda$表示。
- 二次方程的求解需注意判别式和根的验证。
步骤1：展开表达式
将$(X-1)(X-2)$展开：
$(X-1)(X-2) = X^2 - 3X + 2$
步骤2：计算期望
根据期望的线性性：
$E[(X-1)(X-2)] = E(X^2) - 3E(X) + 2$
步骤3：代入泊松分布的性质
已知$X \sim \pi(\lambda)$，则：
$E(X) = \lambda, \quad Var(X) = \lambda$
利用方差公式$Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$，得：
$\lambda = E(X^2) - \lambda^2 \implies E(X^2) = \lambda + \lambda^2$
步骤4：代入方程并求解
将$E(X^2)$和$E(X)$代入原式：
$\lambda + \lambda^2 - 3\lambda + 2 = 1$
整理方程：
$\lambda^2 - 2\lambda + 1 = 0$
因式分解得：
$(\lambda - 1)^2 = 0 \implies \lambda = 1$