当 x arrow 0 时, alpha(x), beta(x) 是非零无穷小量, 给出以下四个命题:① 若 alpha(x) sim beta(x), 则 alpha^2(x) sim beta^2(x);② 若 alpha^2(x) sim beta^2(x), 则 alpha(x) sim beta(x);③ 若 alpha(x) sim beta(x), 则 alpha(x) - beta(x) = o(alpha(x));④ 若 alpha(x) - beta(x) = o(alpha(x)), 则 alpha(x) sim beta(x).其中所有真命题的序号是 ( )(A) ①③(B) ①④(C) ①③④(D) ②③
当 $x \rightarrow 0$ 时, $\alpha(x)$, $\beta(x)$ 是非零无穷小量, 给出以下四个命题: ① 若 $\alpha(x) \sim \beta(x)$, 则 $\alpha^2(x) \sim \beta^2(x)$; ② 若 $\alpha^2(x) \sim \beta^2(x)$, 则 $\alpha(x) \sim \beta(x)$; ③ 若 $\alpha(x) \sim \beta(x)$, 则 $\alpha(x) - \beta(x) = o(\alpha(x))$; ④ 若 $\alpha(x) - \beta(x) = o(\alpha(x))$, 则 $\alpha(x) \sim \beta(x)$. 其中所有真命题的序号是 ( ) (A) ①③ (B) ①④ (C) ①③④ (D) ②③
题目解答
答案
我们来逐个分析这四个命题，前提是当 $ x \to 0 $ 时，$\alpha(x)$ 和 $\beta(x)$ 是非零无穷小量，即 $\alpha(x) \to 0$，$\beta(x) \to 0$，且在 $x \to 0$ 的过程中不恒为零。
我们先回顾几个重要概念：
- $\alpha(x) \sim \beta(x)$ 表示 $\lim_{x \to 0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 1$。
- $f(x) = o(g(x))$ 表示 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0$。
- $f(x) = o(\alpha(x))$ 表示 $f(x)$ 是比 $\alpha(x)$ 高阶的无穷小。
命题①：若 $\alpha(x) \sim \beta(x)$，则 $\alpha^2(x) \sim \beta^2(x)$
分析：
已知 $\lim_{x \to 0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 1$。
我们考察 $\frac{\alpha^2(x)}{\beta^2(x)} = \left( \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} \right)^2$。
由于极限为1，平方后极限为 $1^2 = 1$。
所以 $\lim_{x \to 0} \frac{\alpha^2(x)}{\beta^2(x)} = 1$，即 $\alpha^2(x) \sim \beta^2(x)$。
✅ 命题①为真。
命题②：若 $\alpha^2(x) \sim \beta^2(x)$，则 $\alpha(x) \sim \beta(x)$
分析：
已知 $\lim_{x \to 0} \frac{\alpha^2(x)}{\beta^2(x)} = 1$，即 $\left( \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} \right)^2 \to 1$。
这说明 $\left| \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} \right| \to 1$，即 $\frac{\alpha(x)}{\beta(x)} \to 1$ 或 $\to -1$。
但 $\alpha(x) \sim \beta(x)$ 要求极限为1，而不是-1。
举个反例：
令 $\alpha(x) = x$，$\beta(x) = -x$，当 $x \to 0$。
显然 $\alpha(x)$ 和 $\beta(x)$ 都是非零无穷小。
计算 $\frac{\alpha^2(x)}{\beta^2(x)} = \frac{x^2}{x^2} = 1$，所以 $\alpha^2 \sim \beta^2$。
但 $\frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = \frac{x}{-x} = -1 \not\to 1$，所以 $\alpha(x) \not\sim \beta(x)$。
因此，命题②不成立。
❌ 命题②为假。
命题③：若 $\alpha(x) \sim \beta(x)$，则 $\alpha(x) - \beta(x) = o(\alpha(x))$
分析：
我们要验证：$\lim_{x \to 0} \frac{\alpha(x) - \beta(x)}{\alpha(x)} = 0$
变形：
$\frac{\alpha(x) - \beta(x)}{\alpha(x)} = 1 - \frac{\beta(x)}{\alpha(x)}$
由于 $\alpha(x) \sim \beta(x)$，即 $\frac{\beta(x)}{\alpha(x)} \to 1$，所以：
$1 - \frac{\beta(x)}{\alpha(x)} \to 1 - 1 = 0$
因此 $\frac{\alpha(x) - \beta(x)}{\alpha(x)} \to 0$，即 $\alpha(x) - \beta(x) = o(\alpha(x))$
✅ 命题③为真。
命题④：若 $\alpha(x) - \beta(x) = o(\alpha(x))$，则 $\alpha(x) \sim \beta(x)$
分析：
已知：$\lim_{x \to 0} \frac{\alpha(x) - \beta(x)}{\alpha(x)} = 0$
即：
$\frac{\alpha(x) - \beta(x)}{\alpha(x)} = 1 - \frac{\beta(x)}{\alpha(x)} \to 0
\Rightarrow \frac{\beta(x)}{\alpha(x)} \to 1
\Rightarrow \alpha(x) \sim \beta(x)$
注意：这里我们得到的是 $\frac{\beta(x)}{\alpha(x)} \to 1$，等价于 $\alpha(x) \sim \beta(x)$。
所以命题成立。
✅ 命题④为真。
但需要小心：是否有可能 $\alpha(x)$ 在某些点为0？但题目说 $\alpha(x)$ 是非零无穷小，意味着在 $x \to 0$ 的过程中，$\alpha(x) \ne 0$（至少在去心邻域内），所以除法合法。
因此，推理成立。
✅ 命题④为真。
总结：
- ①：真
- ②：假
- ③：真
- ④：真
所以真命题是 ①③④。
正确答案是：$\boxed{\text{(C) ①③④}}$
解析
本题主要考查无穷小量的等价关系以及高阶无穷小的概念，解题的关键在于根据这些概念对每个命题进行严格的数学推导和分析。
命题①
已知当$x \to 0$时，$\alpha(x) \sim \beta(x)$，根据等价无穷小的定义，有$\lim_{x \to 0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 1$。
我们要判断$\alpha^2(x) \sim \beta^2(x)$是否成立，即判断$\lim_{x \to 0} \frac{\alpha^2(x)}{\beta^2(x)}$是否等于$1$。
因为$\frac{\alpha^2(x)}{\beta^2(x)} = \left( \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} \right)^2$，根据极限的运算法则，若$\lim_{x \to a} f(x) = L$，则$\lim_{x \to a} [f(x)]^n = L^n$（$n$为正整数）。
所以$\lim_{x \to 0} \frac{\alpha^2(x)}{\beta^2(x)} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} \right)^2 = 1^2 = 1$，即$\alpha^2(x) \sim \beta^2(x)$，命题①为真。
命题②
已知$\alpha^2(x) \sim \beta^2(x)$，则$\lim_{x \to 0} \frac{\alpha^2(x)}{\beta^2(x)} = 1$，也就是$\left( \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} \right)^2 \to 1$。
根据平方根的性质，$\left| \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} \right| \to 1$，这意味着$\frac{\alpha(x)}{\beta(x)} \to 1$或$\frac{\alpha(x)}{\beta(x)} \to -1$。
而$\alpha(x) \sim \beta(x)$要求$\lim_{x \to 0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 1$，并非一定是$1$，也可能是$-1$。
我们可以举一个反例，令$\alpha(x) = x$，$\beta(x) = -x$，当$x \to 0$时，$\alpha(x)$和$\beta(x)$都是非零无穷小。
此时$\frac{\alpha^2(x)}{\beta^2(x)} = \frac{x^2}{(-x)^2} = 1$，满足$\alpha^2(x) \sim \beta^2(x)$。
但$\frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = \frac{x}{-x} = -1 \neq 1$，所以$\alpha(x) \not\sim \beta(x)$，命题②为假。
命题③
已知$\alpha(x) \sim \beta(x)$，即$\lim_{x \to 0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 1$，要判断$\alpha(x) - \beta(x) = o(\alpha(x))$是否成立，也就是判断$\lim_{x \to 0} \frac{\alpha(x) - \beta(x)}{\alpha(x)}$是否等于$0$。
对$\frac{\alpha(x) - \beta(x)}{\alpha(x)}$进行变形可得：$\frac{\alpha(x) - \beta(x)}{\alpha(x)} = \frac{\alpha(x)}{\alpha(x)} - \frac{\beta(x)}{\alpha(x)} = 1 - \frac{\beta(x)}{\alpha(x)}$。
因为$\lim_{x \to 0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 1$，根据极限的倒数性质，若$\lim_{x \to a} f(x) = L \neq 0$，则$\lim_{x \to a} \frac{1}{f(x)} = \frac{1}{L}$，所以$\lim_{x \to 0} \frac{\beta(x)}{\alpha(x)} = 1$。
那么$\lim_{x \to 0} \left( 1 - \frac{\beta(x)}{\alpha(x)} \right) = 1 - 1 = 0$，即$\lim_{x \to 0} \frac{\alpha(x) - \beta(x)}{\alpha(x)} = 0$，所以$\alpha(x) - \beta(x) = o(\alpha(x))$，命题③为真。
命题④
已知$\alpha(x) - \beta(x) = o(\alpha(x))$，即$\lim_{x \to 0} \frac{\alpha(x) - \beta(x)}{\alpha(x)} = 0$。
对$\frac{\alpha(x) - \beta(x)}{\alpha(x)}$进行变形可得：$\frac{\alpha(x) - \beta(x)}{\alpha(x)} = 1 - \frac{\beta(x)}{\alpha(x)}$。
所以$1 - \frac{\beta(x)}{\alpha(x)} \to 0$，移项可得$\frac{\beta(x)}{\alpha(x)} \to 1$，根据等价无穷小的定义，$\alpha(x) \sim \beta(x)$，命题④为真。