4. (10.0分) 求微分方程x''+9x=sin(3t)的特解，可设x_(p)=t[Asin(3t)+Bcos(3t)]，其中A，B是待定常数.A. 对B. 错

本题考查二阶常系数非齐次线性微分方程特解的设定方法。解题思路是根据非齐次项的形式以及对应的齐次方程的特征根情况来确定特解的形式，然后通过求导代入原方程验证该特解形式是否合理。

1. 首先，对于二阶常系数非齐次线性微分方程$x'' + 9x = \sin(3t)$，其对应的齐次方程为$x'' + 9x = 0$。
   • 特征方程为$r^{2}+9 = 0$。
   • 求解特征方程：
     • 根据求根公式$r=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$（对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$），在$r^{2}+9 = 0$中，$a = 1$，$b = 0$，$c = 9$，则$r=\frac{0\pm\sqrt{0 - 4\times1\times9}}{2\times1}=\pm3i$。
2. 然后，看非齐次项$f(t)=\sin(3t)$，它属于$P_{m}(t)e^{\lambda t}\sin(\omega t)$型（这里$P_{m}(t)=1$，$\lambda = 0$，$\omega = 3$）。
   • 由于$\lambda\pm i\omega=\pm3i$是特征方程的根，根据二阶常系数非齐次线性微分方程特解的设定规则，特解应设为$x_{p}=t[A\sin(3t)+B\cos(3t)]$，其中$A$，$B$是待定常数。
3. 接着，为了验证该特解形式，我们计算$x_{p}$的一阶和二阶导数：
   • 计算一阶导数$x_{p}'$：
     • 根据乘积的求导法则$(uv)^\prime = u^\prime v+uv^\prime$，对于$x_{p}=t[A\sin(3t)+B\cos(3t)]$，令$u = t$，$v = A\sin(3t)+B\cos(3t)$。
     • 则$u^\prime = 1$，$v^\prime=3A\cos(3t)-3B\sin(3t)$。
     • 所以$x_{p}'=\frac{d}{dt}\left(t[A\sin(3t)+B\cos(3t)]\right)=A\sin(3t)+B\cos(3t)+t[3A\cos(3t)-3B\sin(3t)]$。
   • 计算二阶导数$x_{p}''$：
     • 对$x_{p}'=A\sin(3t)+B\cos(3t)+t[3A\cos(3t)-3B\sin(3t)]$求导。
     • 先对$A\sin(3t)+B\cos(3t)$求导得$3A\cos(3t)-3B\sin(3t)$。
     • 再对$t[3A\cos(3t)-3B\sin(3t)]$用乘积求导法则，令$u = t$，$v = 3A\cos(3t)-3B\sin(3t)$，$u^\prime = 1$，$v^\prime=-9A\sin(3t)-9B\cos(3t)$，则$(t[3A\cos(3t)-3B\sin(3t)])^\prime=3A\cos(3t)-3B\sin(3t)+t[-9A\sin(3t)-9B\cos(3t)]$。
     • 所以$x_{p}''=3A\cos(3t)-3B\sin(3t)+[3A\cos(3t)-3B\sin(3t)]+t[-9A\sin(3t)-9B\cos(3t)]=6A\cos(3t)-6B\sin(3t)-9t[A\sin(3t)+B\cos(3t)]$。
4. 最后，将$x_{p}$和$x_{p}''$代入原微分方程$x'' + 9x = \sin(3t)$：
   • $x_{p}'' + 9x_{p}=6A\cos(3t)-6B\sin(3t)-9t[A\sin(3t)+B\cos(3t)]+9t[A\sin(3t)+B\cos(3t)]$。
   • 其中$-9t[A\sin(3t)+B\cos(3t)]$和$9t[A\sin(3t)+B\cos(3t)]$相互抵消，得到$6A\cos(3t)-6B\sin(3t)=\sin(3t)$。
   • 为使等式成立，根据等式两边$\sin(3t)$和$\cos(3t)$的系数相等，可得方程组$\begin{cases}6A = 0\\-6B = 1\end{cases}$。
   • 解方程组：
     • 由$6A = 0$，解得$A = 0$；由$-6B = 1$，解得$B=-\frac{1}{6}$。
   • 所以特解$x_{p}=t\left[0\cdot\sin(3t)+\left(-\frac{1}{6}\right)\cos(3t)\right]=-\frac{1}{6}t\cos(3t)$，这说明特解形式$x_{p}=t[A\sin(3t)+B\cos(3t)]$是正确的。