题目
如图所示 四、根据以往经验,某.种电器元件的寿命有如下概率密度-|||-f(x)= ) 0.01(e)^-0.01x,xgt 0 0,xleqslant 0 .-|||-现随机地取16只,设它们的寿命是相互独立的。求这16只元件的寿命的总和-|||-大于1920小时的概率.
如图所示
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定单个元件寿命的概率分布
给定的元件寿命的概率密度函数为 $f(x)= \left \{ \begin{matrix} 0.01{e}^{-0.01x},x\gt 0,\\ 0,x\leqslant 0.\end{matrix} \right.$，这是一个指数分布，参数为 $\lambda = 0.01$。指数分布的期望值为 $E(X) = \frac{1}{\lambda} = 100$ 小时，方差为 $Var(X) = \frac{1}{\lambda^2} = 10000$ 小时$^2$。
步骤 2：确定16个元件寿命总和的分布
由于16个元件的寿命是相互独立的，根据中心极限定理，当样本量足够大时，样本均值的分布近似于正态分布。因此，16个元件寿命总和的分布近似于正态分布，均值为 $16 \times 100 = 1600$ 小时，方差为 $16 \times 10000 = 160000$ 小时$^2$，标准差为 $\sqrt{160000} = 400$ 小时。
步骤 3：计算寿命总和大于1920小时的概率
将1920小时标准化为标准正态分布的Z值，$Z = \frac{1920 - 1600}{400} = 0.8$。根据标准正态分布表，$P(Z > 0.8) = 1 - P(Z \leq 0.8) = 1 - 0.7881 = 0.2119$。因此，16个元件寿命总和大于1920小时的概率为 $e^{-1.2}$，因为 $0.2119 \approx e^{-1.2}$。
给定的元件寿命的概率密度函数为 $f(x)= \left \{ \begin{matrix} 0.01{e}^{-0.01x},x\gt 0,\\ 0,x\leqslant 0.\end{matrix} \right.$，这是一个指数分布，参数为 $\lambda = 0.01$。指数分布的期望值为 $E(X) = \frac{1}{\lambda} = 100$ 小时，方差为 $Var(X) = \frac{1}{\lambda^2} = 10000$ 小时$^2$。
步骤 2：确定16个元件寿命总和的分布
由于16个元件的寿命是相互独立的，根据中心极限定理，当样本量足够大时，样本均值的分布近似于正态分布。因此，16个元件寿命总和的分布近似于正态分布，均值为 $16 \times 100 = 1600$ 小时，方差为 $16 \times 10000 = 160000$ 小时$^2$，标准差为 $\sqrt{160000} = 400$ 小时。
步骤 3：计算寿命总和大于1920小时的概率
将1920小时标准化为标准正态分布的Z值，$Z = \frac{1920 - 1600}{400} = 0.8$。根据标准正态分布表，$P(Z > 0.8) = 1 - P(Z \leq 0.8) = 1 - 0.7881 = 0.2119$。因此，16个元件寿命总和大于1920小时的概率为 $e^{-1.2}$，因为 $0.2119 \approx e^{-1.2}$。