14.设函数 y=y(x) 是由方程 ^y=sqrt ({x)^2+(y)^2} 所确定的隐函数,求y^n

考查要点：本题主要考查隐函数求导的方法，涉及链式法则和代数变形能力。

解题思路：

1. 对等式两边同时关于$x$求导，注意将$y$视为$x$的函数，应用链式法则。
2. 整理方程，将含$y'$的项移到等式一侧，不含的移到另一侧。
3. 代数变形，利用原方程$e^y = \sqrt{x^2 + y^2}$进行代换，简化表达式。

关键点：

• 链式法则的应用：对复合函数求导时，外层导数乘以内层导数。
• 代换简化：利用原方程消去$\sqrt{x^2 + y^2}$，使结果更简洁。

原方程：$e^y = \sqrt{x^2 + y^2}$

1. 对等式两边关于$x$求导：

   • 左边：$\frac{d}{dx}(e^y) = e^y \cdot y'$（链式法则）
   • 右边：$\frac{d}{dx}(\sqrt{x^2 + y^2}) = \frac{1}{2}(x^2 + y^2)^{-1/2} \cdot (2x + 2y \cdot y') = \frac{x + y \cdot y'}{\sqrt{x^2 + y^2}}$

   得到方程：
   $e^y \cdot y' = \frac{x + y \cdot y'}{\sqrt{x^2 + y^2}}$

2. 整理方程：

   • 移项含$y'$的项到左边：
     $e^y \cdot y' - \frac{y \cdot y'}{\sqrt{x^2 + y^2}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}$
   • 提取$y'$：
     $y' \left( e^y - \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}} \right) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}$

3. 解出$y'$：
   $y' = \frac{\frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}}{e^y - \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}}$

4. 代换简化：

   • 利用原方程$\sqrt{x^2 + y^2} = e^y$，代入分母和分子：
     $y' = \frac{\frac{x}{e^y}}{e^y - \frac{y}{e^y}} = \frac{x}{e^{2y} - y}$