题目

一、单选题（共40题，80.0分） 24.（单选题，2.0分） 下列函数在x=-1处连续，但不可导的是 A. y=|x+1| B. y=ln(x²+1) C. y=(1)/(x+1) D. y=(x+1)²

一、单选题（共40题，80.0分） 24.（单选题，2.0分） 下列函数在x=-1处连续，但不可导的是
A. y=|x+1|
B. y=ln(x²+1)
C. y=$\frac{1}{x+1}$
D. y=(x+1)²

题目解答

答案

为了确定哪个函数在 $ x = -1 $ 处连续但不可导，我们需要分析每个函数在 $ x = -1 $ 处的连续性和可导性。 **选项 A: $ y = |x+1| $** 1. **连续性：** 函数 $ y = |x+1| $ 在 $ x = -1 $ 处连续，因为当 $ x $ 从左边和右边接近 $-1$ 时，函数的极限存在且等于 $ y(-1) = 0 $。 2. **可导性：** 函数 $ y = |x+1| $ 在 $ x = -1 $ 处不可导，因为函数在 $ x = -1 $ 处的左右导数不相等。当 $ x $ 从左边接近 $-1$ 时，函数的斜率为 $-1$，当 $ x $ 从右边接近 $-1$ 时，函数的斜率为 $1$。 **选项 B: $ y = \ln(x^2 + 1) $** 1. **连续性：** 函数 $ y = \ln(x^2 + 1) $ 在 $ x = -1 $ 处连续，因为自然对数函数对所有正数都有定义，且 $ x^2 + 1 $ 对所有 $ x $ 都是正数。 2. **可导性：** 函数 $ y = \ln(x^2 + 1) $ 在 $ x = -1 $ 处可导，因为自然对数函数的导数是 $ \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x $，在 $ x = -1 $ 处，导数为 $ \frac{1}{2} \cdot (-2) = -1 $。 **选项 C: $ y = \frac{1}{x+1} $** 1. **连续性：** 函数 $ y = \frac{1}{x+1} $ 在 $ x = -1 $ 处不连续，因为分母在 $ x = -1 $ 处为零，函数在 $ x = -1 $ 处有垂直渐近线。 **选项 D: $ y = (x+1)^2 $** 1. **连续性：** 函数 $ y = (x+1)^2 $ 在 $ x = -1 $ 处连续，因为多项式函数对所有 $ x $ 都连续。 2. **可导性：** 函数 $ y = (x+1)^2 $ 在 $ x = -1 $ 处可导，因为多项式函数的导数是 $ 2(x+1) $，在 $ x = -1 $ 处，导数为 $ 2 \cdot 0 = 0 $。 根据分析，函数 $ y = |x+1| $ 在 $ x = -1 $ 处连续但不可导。 答案是 $\boxed{A}$。

解析

考查要点：本题主要考查函数在某一点的连续性和可导性的判断，特别是绝对值函数在拐点处的导数特性。

解题核心思路：

  1. 连续性：判断函数在$x=-1$处是否存在定义，左右极限是否等于函数值。
  2. 可导性：若连续，进一步判断左右导数是否存在且相等。若左右导数不相等，则函数在该点不可导。

破题关键点：

  • 绝对值函数的拐点：形如$y=|x+a|$的函数在$x=-a$处连续，但左右导数分别为$-1$和$1$，导致不可导。
  • 分母为零的情况：若函数在$x=-1$处无定义（如分母为零），则直接排除连续性。

选项A：$y=|x+1|$

  1. 连续性：
    当$x \to -1$时，无论从左侧还是右侧趋近，$|x+1|$的极限均为$0$，且$y(-1)=0$，故连续。
  2. 可导性：
    • 左导数：当$x < -1$时，$y = -(x+1)$，导数为$-1$。
    • 右导数：当$x > -1$时，$y = x+1$，导数为$1$。
      左右导数不相等，故不可导。

选项B：$y=\ln(x^2+1)$

  1. 连续性：
    $x^2+1 > 0$对所有$x$成立，函数在$x=-1$处连续。
  2. 可导性：
    导数为$\frac{2x}{x^2+1}$，代入$x=-1$得$-1$，存在导数，故可导。

选项C：$y=\frac{1}{x+1}$

  1. 连续性：
    $x=-1$时分母为$0$，函数无定义，故不连续。

选项D：$y=(x+1)^2$

  1. 连续性：
    多项式函数在$x=-1$处连续。
  2. 可导性：
    导数为$2(x+1)$，代入$x=-1$得$0$，存在导数，故可导。