8.设x+y-z=e^x,xe^x=tan t,y=cost,则.(dz)/(dt)|_(t=0)=( )A. (1)/(2)B. -(1)/(2)C. 1D. 0

本题考查复合函数求导法则以及隐函数求导法则的综合运用。解题的的思路是先根据已知条件求出$t = 0$时$x$、$y$、$z$的值，再对$x + y - z = e^x$两边关于$t$求导，最后将$t = 0$代入求导后的式子计算$\frac{dz}{dt}$的值。

1. 求$t = 0$时$x$、$y$的值：
   已知$y = \cos t$，将$t = 0$代入可得可得$y|_{t = 0} = \cos 0 = 1$。
   又因为$xe^x = \tan t$，当$t = 0$时，$xe^x = \tan 0 = 0$，解方程$xe^x = 0$，因为$e^x\gt0$恒成立，所以$x = 0$。
2. 求$t = 0$时$z$的值：
   将$x = 0$，$y = 1$代入$x + y - z = e^x$，可得$0 + 1 - z = e^0 = 1$，解得$z = 0$。
3. 对$x + y - z = e^x$两边关于$t$求导：
   根据复合函数求导法则，等式左边求导为$\frac{dx}{dt} + \frac{dy}{dt} - \frac{dz}{dt}$，等式右边求导为$e^x\frac{dx}{dt}$，则有$\frac{dx\over dt}+{dy\over dt}-{dz\over dt}={e^x}{dx\over dt}$。
4. 求$\frac{dx}{dt}$和$\frac{dy}{dt}$：
   对$xe^x = \tan t$两边关于$t$求导，根据乘积求导法则$(uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime$，可得$(xe^x)^\prime\frac{dx}{dt} = \sec^2 t$。
   对$(xe^x)^\prime = (x)^\prime e^x + x(e^x)^\prime = e^x + xe^x = (x + 1)e^x$，所以$(x + 1)e^x\frac{dx}{dt} = \sec^2 t$，将$x = 0$，$t = 0$代入可得$(0 + 1)e^0\frac{dx}{dt}|_{t = 0} = \sec^2 0 = 1$，解得$\frac{dx}{dt}|_{t = 0} = 1$。
   对$y = \cos t$求导，可得$\frac{dy}{dt} = -\sin t$，将$t = 0$代入可得$\frac{dy\over dt}|_{t = 0}=-\sin 0 = 0$。
5. 求$\frac{dz}{dt}|_{t = 0}$的值：
   将$x = 0$，$\frac{dx}{dt}|_{t = 0}} = 1$，$\frac{dy}{dt}|_{t = 0} = 0$代入$\frac{dz}{dt}|_{t = 0}$代入$\frac{dx}{dt} + \frac{dy}{dt} - \frac{dz}{dt} = e^x\frac{dx}{dt}$，可得$1 + 0 - \frac{dz}{dt}|_{t = 0} = e^0\times 1$，即$1 - \frac{dz}{dt}|_{t = 0 = 1$，解得$\frac{dz}{dt}|_{t = 0} = 0$。