17.(判断题)已知矩阵 A=}1&1&2&k&32&3&5&5&42&2&3&1&41&0&1&1&5,且秩r(A)=3,则常数k=1。()A. 对B. 错

本题考查矩阵秩的概念以及通过初等行变换求矩阵的秩。解题思路是对矩阵$A$进行初等行变换，将其化为行阶梯形矩阵，然后根据矩阵的秩为$3$来确定常数$k$的值，最后判断题目中$k = 1$是否正确。

下面进行详细的解答：
已知矩阵$A=\begin{pmatrix}1&1&2&k&3\\2&3&5&5&4\\2&2&3&1&4\\1&0&1&1&5\end{pmatrix}$，对其进行初等行变换。

• 第二行减去第一行的$2$倍，第三行减去第一行的$2$倍，第四行减去第一行，可得：
  $A\sim\begin{pmatrix}1&1&2&k&3\\2 - 2\times1&3 - 2\times1&5 - 2\times2&5 - 2k&4 - 2\times3\\2 - 2\times1&2 - 2\times1&3 - 2\times2&1 - 2k&4 - 2\times3\\1 - 1&0 - 1&1 - 2&1 - k&5 - 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1&2&k&3\\0&1&1&5 - 2k&-2\\0&0&-1&1 - 2k&-2\\0&-1&-1&1 - k&2\end{pmatrix}$
• 第四行加上第二行，可得：
  $A\sim\begin{pmatrix}1&1&2&k&3\\0&1&1&5 - 2k&-2\\0&0&-1&1 - 2k&-2\\0 + 0&-1 + 1&-1 + 1&1 - k + 5 - 2k&2 - 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1&2&k&3\\0&1&1&5 - 2k&-2\\0&0&-1&1 - 2k&-2\\0&0&0&6 - 3k&0\end{pmatrix}$

因为矩阵$A$的秩$r(A)=3$，所以行阶梯形矩阵中非零行的行数为\\(3\)，那么第四行必须全为零，即$6 - 3k = 0$。
解方程$6 - 3k = 0$，移项可得$3k = 6$，两边同时除以$3$，解得$k = 2$，而不是$k = 1$。