题目
已知矩阵A的伴随矩阵A* =(1 0 0 0) (0 1 0 0) (1 0 1 0) (1 -3 0 8) 且ABA^(-1)=BA^(-1) + 3E 求B
已知矩阵A的伴随矩阵A* =(1 0 0 0) (0 1 0 0) (1 0 1 0) (1 -3 0 8) 且ABA^(-1)=BA^(-1) + 3E 求B
题目解答
答案
两边右乘A,得 AB=B + 3A
两边左乘A*,得 |A|B = A*B +3|A|E
8 = |A*|=|A|^3
所以 |A|=2
所以 2B = A*B + 6E
即 (2E-A*)B = 6E
所以 B = 6(2E-A*)^-1
(2E-A*,E)
1 0 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 1 0 0
-1 0 1 0 0 0 1 0
-1 3 0 -6 0 0 0 1
r3+r1,r4+r1
1 0 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 1 0 0
0 0 1 0 1 0 1 0
0 3 0 -6 1 0 0 1
r4-3r2
1 0 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 1 0 0
0 0 1 0 1 0 1 0
0 0 0 -6 1 -3 0 1
r4*(-1/6)
1 0 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 1 0 0
0 0 1 0 1 0 1 0
0 0 0 1 -1/6 1/2 0 -1/6
所以 B = 6(2E-A*)^-1 =
6 0 0 0
0 6 0 0
6 0 6 0
-1 3 0 -1
解析
步骤 1：利用已知条件进行变形
已知条件为：$ABA^{-1} = BA^{-1} + 3E$，其中$E$是单位矩阵。我们首先对这个等式进行变形，以便于后续计算。
步骤 2：两边同时右乘$A$
将等式两边同时右乘$A$，得到$AB = B + 3A$。
步骤 3：两边同时左乘$A^*$
将等式两边同时左乘$A^*$，得到$|A|B = A^*B + 3|A|E$，其中$|A|$表示矩阵$A$的行列式。
步骤 4：计算$|A|$
由于$A^*$是$A$的伴随矩阵，根据伴随矩阵的性质，有$|A|A^* = A|A|$。因此，$|A| = \sqrt[3]{|A^*|} = \sqrt[3]{8} = 2$。
步骤 5：代入$|A|$的值
将$|A| = 2$代入步骤3得到的等式中，得到$2B = A^*B + 6E$。
步骤 6：求解$B$
将$2B = A^*B + 6E$变形为$(2E - A^*)B = 6E$，从而$B = 6(2E - A^*)^{-1}$。
步骤 7：计算$(2E - A^*)^{-1}$
计算$(2E - A^*)^{-1}$，得到$B$的值。
已知条件为：$ABA^{-1} = BA^{-1} + 3E$，其中$E$是单位矩阵。我们首先对这个等式进行变形，以便于后续计算。
步骤 2：两边同时右乘$A$
将等式两边同时右乘$A$，得到$AB = B + 3A$。
步骤 3：两边同时左乘$A^*$
将等式两边同时左乘$A^*$，得到$|A|B = A^*B + 3|A|E$，其中$|A|$表示矩阵$A$的行列式。
步骤 4：计算$|A|$
由于$A^*$是$A$的伴随矩阵，根据伴随矩阵的性质，有$|A|A^* = A|A|$。因此，$|A| = \sqrt[3]{|A^*|} = \sqrt[3]{8} = 2$。
步骤 5：代入$|A|$的值
将$|A| = 2$代入步骤3得到的等式中，得到$2B = A^*B + 6E$。
步骤 6：求解$B$
将$2B = A^*B + 6E$变形为$(2E - A^*)B = 6E$，从而$B = 6(2E - A^*)^{-1}$。
步骤 7：计算$(2E - A^*)^{-1}$
计算$(2E - A^*)^{-1}$，得到$B$的值。