题目
建立以点( 1,3,-2)为球心,且通过坐标原点的球面方程 .
建立以点( 1,3,-2)为球心,且通过坐标原点的球面方程 .
题目解答
答案
解 设以点( 1,3,-2)为球心, R为半径的球面方程为(x 1)2 y z R2 2 2( 3) ( 2) ,球面经过原点,故2R(021)(3)2 2(0 2)14,从而所求球面方程为 (x 1)2 ( y 3)2 (z 2)2 14.
解析
本题考查球面方程的知识点。解题思路是先根据球心坐标写出球面方程的一般形式，再利用球面通过原点这一条件求出半径的平方，最后将半径的平方代入球面方程的一般形式，得到所求的球面方程。
- 写出球面方程的一般形式：
已知球心坐标为$(a,b,c)$，半径为$R$的球面方程为$(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2$。
在本题中，球心坐标为$(1,3,-2)$，所以球面方程为$(x - 1)^2 + (y - 3)^2 + (z + 2)^2 = R^2$。 - 求出半径$R$的平方：
因为球面通过坐标原点$(0,0,0)$，将原点坐标代入球面方程$(x - 1)^2 + (y - 3)^2 + (z + 2)^2 = R^2$中，可得：
$(0 - 1)^2 + (0 - 3)^2 + (0 + 2)^2 = R^2$
根据幂运算法则计算上式左边的值：
$(-1)^2 + (-3)^2 + 2^2 = 1 + 9 + 4 = 14$
所以$R^2 = 14$。 - 得到所求的球面方程：
将$R^2 = 14$代入$(x - 1)^2 + (y - 3)^2 + (z + 2)^2 = R^2$中，可得所求球面方程为$(x - 1)^2 + (y - 3)^2 + (z + 2)^2 = 14$。