题目
20.（综合题，10.0分）求函数f(x,y)=x^3+y^3-3xy求的极值.
20.（综合题，10.0分）
求函数$f(x,y)=x^{3}+y^{3}-3xy$求的极值.
题目解答
答案
求函数 $ f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy $ 的极值：
1. **求偏导数：**
\[
f_x' = 3x^2 - 3y, \quad f_y' = 3y^2 - 3x
\]
2. **解方程组：**
\[
\begin{cases}
3x^2 - 3y = 0 \\
3y^2 - 3x = 0
\end{cases}
\]
解得：$ (0, 0) $，$ (1, 1) $
3. **二阶导数：**
\[
f_{xx}'' = 6x, \quad f_{yy}'' = 6y, \quad f_{xy}'' = -3
\]
4. **判别式 $ D $：**
\[
D = f_{xx}''f_{yy}'' - (f_{xy}'')^2
\]
- 在 $ (0, 0) $：$ D = -9 < 0 $，非极值点
- 在 $ (1, 1) $：$ D = 27 > 0 $，且 $ f_{xx}'' = 6 > 0 $，极小值点
5. **计算极值：**
\[
f(1, 1) = -1
\]
**答案：**
\[
\boxed{
\begin{array}{ll}
\text{极小值：} & -1 \text{（在点 } (1, 1) \text{ 处）} \\
\text{无极大值}
\end{array}
}
\]
解析
步骤 1：求偏导数
对函数 $f(x,y)=x^{3}+y^{3}-3xy$ 求偏导数，得到：
\[ f_x' = 3x^2 - 3y \]
\[ f_y' = 3y^2 - 3x \]
步骤 2：解方程组
令偏导数等于零，得到方程组：
\[ \begin{cases} 3x^2 - 3y = 0 \\ 3y^2 - 3x = 0 \end{cases} \]
解得：$ (0, 0) $，$ (1, 1) $
步骤 3：二阶导数
对函数 $f(x,y)$ 求二阶偏导数，得到：
\[ f_{xx}'' = 6x \]
\[ f_{yy}'' = 6y \]
\[ f_{xy}'' = -3 \]
步骤 4：判别式 $D$
计算判别式 $D$：
\[ D = f_{xx}''f_{yy}'' - (f_{xy}'')^2 \]
- 在 $ (0, 0) $：$ D = -9 < 0 $，非极值点
- 在 $ (1, 1) $：$ D = 27 > 0 $，且 $ f_{xx}'' = 6 > 0 $，极小值点
步骤 5：计算极值
计算极值点 $(1, 1)$ 处的函数值：
\[ f(1, 1) = -1 \]
对函数 $f(x,y)=x^{3}+y^{3}-3xy$ 求偏导数，得到：
\[ f_x' = 3x^2 - 3y \]
\[ f_y' = 3y^2 - 3x \]
步骤 2：解方程组
令偏导数等于零，得到方程组：
\[ \begin{cases} 3x^2 - 3y = 0 \\ 3y^2 - 3x = 0 \end{cases} \]
解得：$ (0, 0) $，$ (1, 1) $
步骤 3：二阶导数
对函数 $f(x,y)$ 求二阶偏导数，得到：
\[ f_{xx}'' = 6x \]
\[ f_{yy}'' = 6y \]
\[ f_{xy}'' = -3 \]
步骤 4：判别式 $D$
计算判别式 $D$：
\[ D = f_{xx}''f_{yy}'' - (f_{xy}'')^2 \]
- 在 $ (0, 0) $：$ D = -9 < 0 $，非极值点
- 在 $ (1, 1) $：$ D = 27 > 0 $，且 $ f_{xx}'' = 6 > 0 $，极小值点
步骤 5：计算极值
计算极值点 $(1, 1)$ 处的函数值：
\[ f(1, 1) = -1 \]