1.计算下列定积分:-|||-(8) (int )_(dfrac {1)(sqrt {2)}}^1dfrac (sqrt {1-{x)^2}}({x)^2}dx;

考查要点：本题主要考查定积分的计算，特别是通过三角替换法处理含有根号的积分表达式。

解题核心思路：
观察到积分中含有$\sqrt{1-x^2}$，自然联想到使用三角替换，令$x = \sin t$，将根号部分简化为$\cos t$。随后，通过变量替换将原积分转化为关于$t$的三角函数积分，利用三角恒等式简化后直接积分。

破题关键点：

1. 选择合适的三角替换：令$x = \sin t$，简化根号表达式。
2. 调整积分上下限：根据$x$的范围确定$t$的范围，简化后续计算。
3. 三角恒等式的应用：将$\cos^2 t / \sin^2 t$转化为$\cot^2 t$，进一步拆分为$\csc^2 t - 1$，便于积分。

步骤1：变量替换
令$x = \sin t$，则$dx = \cos t \, dt$。
当$x = 1/\sqrt{2}$时，$t = \pi/4$；当$x = 1$时，$t = \pi/2$。
原积分变为：
$\int_{\pi/4}^{\pi/2} \frac{\cos t}{\sin^2 t} \cdot \cos t \, dt = \int_{\pi/4}^{\pi/2} \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t} \, dt.$

步骤2：化简积分表达式
利用$\cos^2 t = 1 - \sin^2 t$，将被积函数变形：
$\frac{\cos^2 t}{\sin^2 t} = \frac{1 - \sin^2 t}{\sin^2 t} = \frac{1}{\sin^2 t} - 1 = \csc^2 t - 1.$

步骤3：积分计算
分别对$\csc^2 t$和$1$积分：
$\int (\csc^2 t - 1) \, dt = -\cot t - t + C.$

步骤4：代入上下限
计算定积分：
$\left[ -\cot t - t \right]_{\pi/4}^{\pi/2} = \left( -\cot \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} \right) - \left( -\cot \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} \right).$
其中：

• $\cot \frac{\pi}{2} = 0$，$\cot \frac{\pi}{4} = 1$，
• 最终结果为：
  $(0 - \frac{\pi}{2}) - (-1 - \frac{\pi}{4}) = 1 - \frac{\pi}{4}.$