单选题（共30题，90.0分） 26.（3.0分）若向量组alpha_(1)=(1,2,3)^T,alpha_(2)=(2,3,4)^T,alpha_(3)=(4,5,k)^T线性相关，则k的取值为（）.A. 5B. 7C. 6D. 4

本题考查向量组线性相关的知识，解题思路是通过向量组线性相关的性质，将其转化为矩阵的秩的问题，再利用矩阵的秩与行列式的关系来求解。

详细步骤

1. 已知向量组$\alpha_{1}=(1,2,3)^{T},\alpha_{2}=(2,3,4)^{T},\alpha_{3}=(4,5,k)^{T}$线性相关。根据向量组线性相关的性质可知，由这些向量构成的矩阵$A = \begin{pmatrix}1&2&4\\2&3&5\\3&4&k\end{pmatrix}$的秩小于向量的个数$3$，即$r(A)<3$。
2. 因为矩阵的秩小于$3$，所以矩阵$A$的行列式$\vert A\vert = 0$。
3. 计算行列式$\vert A\vert$：
   $\vert A\vert=\begin{vmatrix}1&2&4\\2&3&5\\3&4&k\end{vmatrix}$
   先将第一行乘以$-2$加到第二行，第一行乘以$-3$加到第三行得：
   $\vert A\vert=\begin{vmatrix}1&2&4\\0&-1&-3\\0&-2&k - 12\end{vmatrix}$
   再将第二行乘以$-2$加到第三行得：
   $\vert A\vert=\begin{vmatrix}1&2&4\\0&-1&-3\\0&0&k - 6\end{vmatrix}$
   根据上三角行列式的值等于主对角线元素之积，可得$\vert A\vert = 1\times(-1)\times(k - 6)=-(k - 6)$。
4. 令$\vert A\vert = 0$，即$-(k - 6)=0$，解得$k = 6$。