已知sinα=(sqrt(5))/(5)，sin（α-β）=-(sqrt(10))/(10)，α，β均为锐角，则β= ____ ．
题目解答
答案
所以cosα=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
因为$-\frac{π}{2}＜α-β＜\frac{π}{2}$，sin（α-β）=-$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
所以cos（α-β）=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
所以sinβ=sin[α-（α-β）]=sinαcos（α-β）-sin（α-β）cosα=$\frac{\sqrt{5}}{5}$×$\frac{3\sqrt{10}}{10}$-（-$\frac{\sqrt{10}}{10}$）×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
所以β=$\frac{π}{4}$．
故答案为：$\frac{π}{4}$．
解析
考查要点：本题主要考查三角恒等变换中的差角公式应用，以及已知三角函数值求角度的能力。
解题核心思路：
- 利用已知的$\sinα$求出$\cosα$；
- 根据$\sin(α-β)$的值及角度范围确定$\cos(α-β)$；
- 通过角度变形，将$β$表示为$α - (α-β)$，利用正弦差角公式展开并计算$\sinβ$；
- 根据$\sinβ$的值及角度范围确定$β$的具体值。
破题关键点：
- 角度范围的分析：确定$α-β$的范围，从而判断$\cos(α-β)$的符号；
- 灵活运用角度变形，将$β$转化为已知角度的组合。
步骤1：求$\cosα$
已知$\sinα = \frac{\sqrt{5}}{5}$，由$\sin^2α + \cos^2α = 1$得：
$\cosα = \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)^2} = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}.$
步骤2：求$\cos(α-β)$
已知$\sin(α-β) = -\frac{\sqrt{10}}{10}$，且$α, β$为锐角，故$α-β$的范围为$(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$。
由$\sin^2θ + \cos^2θ = 1$得：
$\cos(α-β) = \sqrt{1 - \left(-\frac{\sqrt{10}}{10}\right)^2} = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10}.$
步骤3：求$\sinβ$
将$β$表示为$α - (α-β)$，利用正弦差角公式：
$\begin{aligned}\sinβ &= \sin\left[α - (α-β)\right] \\&= \sinα \cos(α-β) - \cosα \sin(α-β) \\&= \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{3\sqrt{10}}{10} - \frac{2\sqrt{5}}{5} \cdot \left(-\frac{\sqrt{10}}{10}\right) \\&= \frac{3\sqrt{2}}{10} + \frac{2\sqrt{2}}{10} = \frac{\sqrt{2}}{2}.\end{aligned}$
步骤4：确定$β$的值
由$\sinβ = \frac{\sqrt{2}}{2}$且$β$为锐角，得：
$β = \frac{\pi}{4}.$