设 z = f(x^2 - y^2, e^xy)，其中 f 具有连续偏导数，则 z_y = ( )A、2yf_1' + xe^xy f_2'B、-2yf_1' + xe^xy f_2'C、2yf_1' + e^xy f_2'D、-2yf_1' - xe^xy f_2'

我们来逐步分析这个题目。

题目给出：
设 $ z = f(x^2 - y^2, e^{xy}) $，其中 $ f $ 是一个具有连续偏导数的二元函数。
要求的是 $ z_y = \frac{\partial z}{\partial y} $。

第一步：变量替换

令

• $ u = x^2 - y^2 $
• $ v = e^{xy} $

那么
$z = f(u, v)$

我们要计算的是 $ \frac{\partial z}{\partial y} $，即 $ z $ 对 $ y $ 的偏导数。

由于 $ f $ 是关于 $ u $ 和 $ v $ 的函数，而 $ u $ 和 $ v $ 又都是 $ x $ 和 $ y $ 的函数，因此需要用多元复合函数求导法则（链式法则）：

$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial f}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial y}$

我们通常记：

• $ f_1' = \frac{\partial f}{\partial u} $：表示 $ f $ 对第一个变量的偏导
• $ f_2' = \frac{\partial f}{\partial v} $：表示 $ f $ 对第二个变量的偏导

第二步：计算中间变量对 $ y $ 的偏导

1. $ u = x^2 - y^2 $
   $\frac{\partial u}{\partial y} = -2y$

2. $ v = e^{xy} $
   $\frac{\partial v}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(e^{xy}) = e^{xy} \cdot \frac{\partial (xy)}{\partial y} = e^{xy} \cdot x = x e^{xy}$

第三步：代入链式法则公式

$\frac{\partial z}{\partial y} = f_1' \cdot (-2y) + f_2' \cdot (x e^{xy})$

即：
$z_y = -2y f_1' + x e^{xy} f_2'$

第四步：对照选项

选项如下：

A、$ 2y f_1' + x e^{xy} f_2' $
B、$ -2y f_1' + x e^{xy} f_2' $
C、$ 2y f_1' + e^{xy} f_2' $
D、$ -2y f_1' - x e^{xy} f_2' $

我们算出的结果是：
$-2y f_1' + x e^{xy} f_2'$

对应选项 B

✅ 最终答案：

$\boxed{\text{B}}$