题目
例1.13 用单纯形法求解max Z=x_(1)+2x_(2)+x_(3)s.t}2x_(1)-3x_(2)+2x_(3)leq15 (1)/(3)x_(1)+x_(2)+5x_(3)leq20 x_(1),x_(2),x_(3)geq0解：将数学模型化为标准形式：max Z=x_(1)+2x_(2)+x_(3)s.t}2x_(1)-3x_(2)+2x_(3)+x_(4)=15 (1)/(3)x_(1)+x_(2)+5x_(3)+x_(5)=20 x_(j)geq0,j=1,2,...,5不难看出x_(4)、x_(5)可作为初始基变量，列单纯形表计算。
例1.13 用单纯形法求解
$\max Z=x_{1}+2x_{2}+x_{3}$
$s.t\begin{cases}2x_{1}-3x_{2}+2x_{3}\leq15\\ \frac{1}{3}x_{1}+x_{2}+5x_{3}\leq20\\ x_{1},x_{2},x_{3}\geq0\end{cases}$
解：将数学模型化为标准形式：
$\max Z=x_{1}+2x_{2}+x_{3}$
$s.t\begin{cases}2x_{1}-3x_{2}+2x_{3}+x_{4}=15\\ \frac{1}{3}x_{1}+x_{2}+5x_{3}+x_{5}=20\\ x_{j}\geq0,j=1,2,\cdots,5\end{cases}$
不难看出$x_{4}$、$x_{5}$可作为初始基变量，列单纯形表计算。
题目解答
答案
将问题转换为标准形式，引入松弛变量 $x_4$、$x_5$：
\[
\max Z = x_1 + 2x_2 + x_3
\]
\[
\begin{cases}
2x_1 - 3x_2 + 2x_3 + x_4 = 15 \\
\frac{1}{3}x_1 + x_2 + 5x_3 + x_5 = 20 \\
x_1, x_2, x_3, x_4, x_5 \geq 0
\end{cases}
\]
使用单纯形法求解，经过迭代得：
\[
\boxed{
\begin{cases}
x_1 = 25 \\
x_2 = \frac{35}{3} \\
x_3 = 0 \\
Z = \frac{145}{3}
\end{cases}
}
\]
解析
步骤 1：将问题转换为标准形式
将原问题转换为标准形式，引入松弛变量 $x_4$、$x_5$，使得约束条件变为等式。原问题变为：
\[ \max Z = x_1 + 2x_2 + x_3 \]
\[ \begin{cases} 2x_1 - 3x_2 + 2x_3 + x_4 = 15 \\ \frac{1}{3}x_1 + x_2 + 5x_3 + x_5 = 20 \\ x_1, x_2, x_3, x_4, x_5 \geq 0 \end{cases} \]
步骤 2：建立初始单纯形表
根据标准形式，建立初始单纯形表，其中 $x_4$ 和 $x_5$ 作为初始基变量。
\[ \begin{array}{c|ccccc|c}
& x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & x_5 & \text{RHS} \\
\hline
x_4 & 2 & -3 & 2 & 1 & 0 & 15 \\
x_5 & \frac{1}{3} & 1 & 5 & 0 & 1 & 20 \\
\hline
Z & -1 & -2 & -1 & 0 & 0 & 0
\end{array} \]
步骤 3：进行单纯形法迭代
选择入基变量和出基变量，进行迭代，直到所有检验数非正。
\[ \begin{array}{c|ccccc|c}
& x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & x_5 & \text{RHS} \\
\hline
x_4 & 2 & -3 & 2 & 1 & 0 & 15 \\
x_5 & \frac{1}{3} & 1 & 5 & 0 & 1 & 20 \\
\hline
Z & -1 & -2 & -1 & 0 & 0 & 0
\end{array} \]
选择 $x_2$ 作为入基变量，$x_5$ 作为出基变量，进行迭代。
\[ \begin{array}{c|ccccc|c}
& x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & x_5 & \text{RHS} \\
\hline
x_4 & 2 & 0 & -13 & 1 & 3 & -45 \\
x_2 & \frac{1}{3} & 1 & 5 & 0 & 1 & 20 \\
\hline
Z & -1 & 0 & 9 & 0 & 2 & 40
\end{array} \]
选择 $x_1$ 作为入基变量，$x_4$ 作为出基变量，进行迭代。
\[ \begin{array}{c|ccccc|c}
& x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & x_5 & \text{RHS} \\
\hline
x_1 & 1 & 0 & -\frac{13}{2} & \frac{1}{2} & \frac{3}{2} & -\frac{45}{2} \\
x_2 & 0 & 1 & \frac{16}{3} & -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{55}{3} \\
\hline
Z & 0 & 0 & \frac{11}{2} & \frac{1}{2} & \frac{5}{2} & \frac{145}{3}
\end{array} \]
步骤 4：得到最优解
根据单纯形表，得到最优解。
\[ \begin{cases} x_1 = 25 \\ x_2 = \frac{35}{3} \\ x_3 = 0 \\ Z = \frac{145}{3} \end{cases} \]
将原问题转换为标准形式，引入松弛变量 $x_4$、$x_5$，使得约束条件变为等式。原问题变为：
\[ \max Z = x_1 + 2x_2 + x_3 \]
\[ \begin{cases} 2x_1 - 3x_2 + 2x_3 + x_4 = 15 \\ \frac{1}{3}x_1 + x_2 + 5x_3 + x_5 = 20 \\ x_1, x_2, x_3, x_4, x_5 \geq 0 \end{cases} \]
步骤 2：建立初始单纯形表
根据标准形式，建立初始单纯形表，其中 $x_4$ 和 $x_5$ 作为初始基变量。
\[ \begin{array}{c|ccccc|c}
& x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & x_5 & \text{RHS} \\
\hline
x_4 & 2 & -3 & 2 & 1 & 0 & 15 \\
x_5 & \frac{1}{3} & 1 & 5 & 0 & 1 & 20 \\
\hline
Z & -1 & -2 & -1 & 0 & 0 & 0
\end{array} \]
步骤 3：进行单纯形法迭代
选择入基变量和出基变量，进行迭代，直到所有检验数非正。
\[ \begin{array}{c|ccccc|c}
& x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & x_5 & \text{RHS} \\
\hline
x_4 & 2 & -3 & 2 & 1 & 0 & 15 \\
x_5 & \frac{1}{3} & 1 & 5 & 0 & 1 & 20 \\
\hline
Z & -1 & -2 & -1 & 0 & 0 & 0
\end{array} \]
选择 $x_2$ 作为入基变量，$x_5$ 作为出基变量，进行迭代。
\[ \begin{array}{c|ccccc|c}
& x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & x_5 & \text{RHS} \\
\hline
x_4 & 2 & 0 & -13 & 1 & 3 & -45 \\
x_2 & \frac{1}{3} & 1 & 5 & 0 & 1 & 20 \\
\hline
Z & -1 & 0 & 9 & 0 & 2 & 40
\end{array} \]
选择 $x_1$ 作为入基变量，$x_4$ 作为出基变量，进行迭代。
\[ \begin{array}{c|ccccc|c}
& x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & x_5 & \text{RHS} \\
\hline
x_1 & 1 & 0 & -\frac{13}{2} & \frac{1}{2} & \frac{3}{2} & -\frac{45}{2} \\
x_2 & 0 & 1 & \frac{16}{3} & -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{55}{3} \\
\hline
Z & 0 & 0 & \frac{11}{2} & \frac{1}{2} & \frac{5}{2} & \frac{145}{3}
\end{array} \]
步骤 4：得到最优解
根据单纯形表，得到最优解。
\[ \begin{cases} x_1 = 25 \\ x_2 = \frac{35}{3} \\ x_3 = 0 \\ Z = \frac{145}{3} \end{cases} \]