设x1是方阵A的属于特征值λ1的特征向量,x2是A的属于特征值λ2的特征向量,证明:如-|||-果 (lambda )_(1)neq (lambda )_(2), 则 _(1)+(x)_(2) 不是A的特征向量.

考查要点：本题主要考查特征向量与特征值的性质，以及线性无关的概念。关键在于理解不同特征值对应的特征向量线性无关这一性质。

解题核心思路：采用反证法，假设$x_1 + x_2$是A的特征向量，通过矩阵作用后的表达式推导出矛盾，从而证明原命题成立。

破题关键点：

1. 反证法的运用：假设结论不成立，导出矛盾。
2. 特征向量的线性组合：利用矩阵作用于$x_1 + x_2$的展开式。
3. 线性无关性：不同特征值对应的特征向量线性无关，从而系数必须全为零。

步骤1：假设$x_1 + x_2$是A的特征向量
假设存在特征值$\lambda$，使得：
$A(x_1 + x_2) = \lambda(x_1 + x_2)$

步骤2：展开矩阵作用
根据特征向量的定义，$A x_1 = \lambda_1 x_1$，$A x_2 = \lambda_2 x_2$，因此：
$A(x_1 + x_2) = A x_1 + A x_2 = \lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2$

步骤3：联立方程
将步骤1和步骤2的结果联立，得：
$\lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2 = \lambda x_1 + \lambda x_2$
整理得：
$(\lambda_1 - \lambda)x_1 + (\lambda_2 - \lambda)x_2 = 0$

步骤4：利用线性无关性
由于$x_1$和$x_2$属于不同特征值，它们线性无关。因此，系数必须分别为零：
$\lambda_1 - \lambda = 0 \quad \text{且} \quad \lambda_2 - \lambda = 0$
即$\lambda = \lambda_1 = \lambda_2$，与$\lambda_1 \neq \lambda_2$矛盾。

结论：假设不成立，原命题得证。