题目
14、填空 若xto0时，(1+ax^2)^(1)/(2)-1与 xsinx是等价无穷小，则a=____. (3分)
14、填空 若$x\to0$时，$(1+ax^{2})^{\frac{1}{2}}-1$与$ xsinx$是等价无穷小，则a=____. (3分)
题目解答
答案
当 $x \to 0$ 时，$(1+ax^2)^{\frac{1}{2}} - 1$ 与 $x \sin x$ 等价无穷小，即
$\lim_{x \to 0} \frac{(1+ax^2)^{\frac{1}{2}} - 1}{x \sin x} = 1$
利用等价无穷小替换，$x \sin x \sim x^2$，且
$(1+ax^2)^{\frac{1}{2}} - 1 \sim \frac{1}{2}ax^2$
代入得
$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2}ax^2}{x^2} = \frac{a}{2} = 1$
解得 $a = 2$。
答案： $\boxed{2}$
解析
本题考查等价无穷小的知识以及利用等价无穷小替换的替换规则来求解极限的解题思路。解题的关键在于利用等价无穷小替换简化极限式子，然后通过求解极限式子中的未知数来得到最终答案。
- 首先明确等价无穷小的概念，当$x \to 0$时，有$(1 + u)^{\alpha}-1\sim\alpha u$，$\sin x\sim x$。
- 对于本题，当$x \to 0$时，$(1 + ax^{2})^{\frac{1}{2}}-1$，这里$u = ax^{2}$，$\alpha=\frac{1}{2}$，根据等价无穷小替换规则可得$(1 + ax^{2})^{\frac{1}{2}}-1\sim\frac{1}{2}ax^{2}$；同时$x\sin x\sim x\cdot x = x^{2}$。
- 已知$\lim_{x \to 0} \frac{(1 + ax^{2})^{\frac{1}{2}} - 1}{x\sin x} = 1$，将上述等价无穷小替换结果代入该极限式子中，得到$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2}ax^{2}}{x^{2}}$。
- 对$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2}ax^{2}}{x^{2}}$进行化简，$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2}ax^{2}}{x^{2}}=\frac{a}{2}$。
- 因为$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2}ax^{2}}{x^{2}} = 1$，所以$\frac{a}{2}=1$。
- 求解$\frac{a}{2}=1$这个方程，两边同时乘以$2$，可得$a = 2$。