题目
设曲面Sigma为柱面x^2+y^2=1(外侧)被平面z=0及z=3所截的第一卦限部分，则 int_(Sigma) z,dx,dy + y,dz,dx + x,dy,dz = ( ) A)2int_(0)^3 dz int_(0)^1 sqrt(1-y^2) dy B)3int_(0)^3 dz int_(0)^1 sqrt(1-y^2) dy C)int_(0)^3 dz int_(0)^1 sqrt(1-y^2) dy D)0
设曲面$\Sigma$为柱面$x^2+y^2=1$(外侧)被平面$z=0$及$z=3$所截的第一卦限部分，则
$\int_{\Sigma} z\,dx\,dy + y\,dz\,dx + x\,dy\,dz = (\quad)$
A)$2\int_{0}^{3} dz \int_{0}^{1} \sqrt{1-y^2} dy$
B)$3\int_{0}^{3} dz \int_{0}^{1} \sqrt{1-y^2} dy$
C)$\int_{0}^{3} dz \int_{0}^{1} \sqrt{1-y^2} dy$
D)$0$
题目解答
答案
为了解决给定的问题，我们需要计算曲面积分$\iint\limits_{\Sigma} z \, dx \, dy + y \, dz \, dx + x \, dy \, dz$，其中$\Sigma$是柱面$x^2 + y^2 = 1$（外侧）被平面$z = 0$和$z = 3$所截的第一卦限部分。
我们可以使用散度定理，该定理指出对于向量场$\mathbf{F} = (P, Q, R)$，曲面积分$\iint\limits_{\Sigma} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS$等于体积积分$\iiint\limits_{V} \nabla \cdot \mathbf{F} \, dV$，其中$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$。
这里，向量场是$\mathbf{F} = (y, x, z)$。散度$\mathbf{F}$的计算如下：
\[
\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial y}{\partial x} + \frac{\partial x}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial z} = 0 + 0 + 1 = 1.
\]
根据散度定理，曲面积分等于在由曲面$\Sigma$围成的体积上散度的体积积分：
\[
\iint\limits_{\Sigma} z \, dx \, dy + y \, dz \, dx + x \, dy \, dz = \iiint\limits_{V} 1 \, dV = \text{体积 } V.
\]
体积$V$是柱面$x^2 + y^2 = 1$在平面$z = 0$和$z = 3$之间在第一卦限部分的体积。这个体积是整个圆柱体积的四分之一，因为我们在第一卦限。整个圆柱的体积是：
\[
\pi r^2 h = \pi \cdot 1^2 \cdot 3 = 3\pi.
\]
因此，第一卦限部分的体积是：
\[
V = \frac{1}{4} \cdot 3\pi = \frac{3\pi}{4}.
\]
然而，我们需要将这个体积表示为给定的积分形式。体积可以写为：
\[
V = \int_{0}^{3} dz \int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1 - y^2}} dx \, dy = \int_{0}^{3} dz \int_{0}^{1} \sqrt{1 - y^2} \, dy.
\]
由于散度定理的曲面积分是这个体积的三倍（因为散度是1，体积积分是体积本身）：
\[
\iint\limits_{\Sigma} z \, dx \, dy + y \, dz \, dx + x \, dy \, dz = 3 \int_{0}^{3} dz \int_{0}^{1} \sqrt{1 - y^2} \, dy.
\]
因此，正确答案是：
\[
\boxed{B}
\]