题目

利用格林公式计算曲线积分oint_(L)(sinx+x^2y)dx+(cscy-3xy^2)dy，其中积分曲线L是顶点(0,0)，(2,0)和(1,1)的三角形区域的正向边界。

利用格林公式计算曲线积分 $\oint_{L}(sinx+x^{2}y)dx+(cscy-3xy^{2})dy$，其中积分曲线L是顶点(0,0)，(2,0)和(1,1)的三角形区域的正向边界。

题目解答

答案

为了利用格林公式计算曲线积分 $\oint_{L}( \sin x + x^2 y) \, dx + ( \csc y - 3xy^2) \, dy$，其中 $L$ 是顶点为 $(0,0)$，$(2,0)$，和 $(1,1)$ 的三角形区域的正向边界，我们首先回顾格林公式。格林公式表明，对于一个正向、分段光滑、简单闭合曲线 $L$ 和由 $L$ 界定的区域 $D$，如果 $P$ 和 $Q$ 在包含 $D$ 的开区域内具有连续的偏导数，那么 \[ \oint_{L} P \, dx + Q \, dy = \iint_{D} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \, dA. \] 这里，$P(x,y) = \sin x + x^2 y$ 和 $Q(x,y) = \csc y - 3xy^2$。我们需要计算偏导数 $\frac{\partial Q}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial P}{\partial y}$。 \[ \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (\csc y - 3xy^2) = -3y^2, \] \[ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (\sin x + x^2 y) = x^2. \] 因此，格林公式中的被积函数为 \[ \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = -3y^2 - x^2. \] 现在，我们需要在三角形区域 $D$ 上积分 $-3y^2 - x^2$。三角形的顶点是 $(0,0)$，$(2,0)$，和 $(1,1)$。三角形的边界由直线 $y = 0$，$y = x$，和 $y = 2 - x$ 组成。为了设置二重积分，我们从 $x = 0$ 到 $x = 1$ 积分，其中 $y$ 从 $0$ 到 $x$，然后从 $x = 1$ 到 $x = 2$ 积分，其中 $y$ 从 $0$ 到 $2 - x$。二重积分变为 \[ \iint_{D} (-3y^2 - x^2) \, dA = \int_{0}^{1} \int_{0}^{x} (-3y^2 - x^2) \, dy \, dx + \int_{1}^{2} \int_{0}^{2-x} (-3y^2 - x^2) \, dy \, dx. \] 我们首先计算第一个积分： \[ \int_{0}^{1} \int_{0}^{x} (-3y^2 - x^2) \, dy \, dx = \int_{0}^{1} \left[ -y^3 - x^2 y \right]_{0}^{x} \, dx = \int_{0}^{1} (-x^3 - x^3) \, dx = \int_{0}^{1} -2x^3 \, dx = \left[ -\frac{1}{2} x^4 \right]_{0}^{1} = -\frac{1}{2}. \] 接下来，我们计算第二个积分： \[ \int_{1}^{2} \int_{0}^{2-x} (-3y^2 - x^2) \, dy \, dx = \int_{1}^{2} \left[ -y^3 - x^2 y \right]_{0}^{2-x} \, dx = \int_{1}^{2} \left( -(2-x)^3 - x^2 (2-x) \right) \, dx. \] 我们展开 $-(2-x)^3$： \[ -(2-x)^3 = -(8 - 12x + 6x^2 - x^3) = -8 + 12x - 6x^2 + x^3. \] 因此，被积函数变为 \[ -8 + 12x - 6x^2 + x^3 - 2x^2 + x^3 = -8 + 12x - 8x^2 + 2x^3. \] 我们现在从 $1$ 到 $2$ 积分这个表达式： \[ \int_{1}^{2} (-8 + 12x - 8x^2 + 2x^3) \, dx = \left[ -8x + 6x^2 - \frac{8}{3} x^3 + \frac{1}{2} x^4 \right]_{1}^{2}. \] 我们在上限 $x = 2$ 和下限 $x = 1$ 处评估这个表达式： \[ \left( -16 + 24 - \frac{64}{3} + 8 \right) - \left( -8 + 6 - \frac{8}{3} + \frac{1}{2} \right) = \left( 16 - \frac{64}{3} \right) - \left( -2 - \frac{8}{3} + \frac{1}{2} \right). \] 我们通过找到一个共同的分母来组合分数： \[ 16 - \frac{64}{3} = \frac{48}{3} - \frac{64}{3} = -\frac{16}{3}, \] \[ -2 - \frac{8}{3} + \frac{1}{2} = -\frac{12}{6} - \frac{16}{6} + \frac{3}{6} = -\frac{25}{6}. \] 因此，表达式变为 \[ -\frac{16}{3} + \frac{25}{6} = -\frac{32}{6} + \frac{25}{6} = -\frac{7}{6}. \] 将两个积分的结果相加，我们得到 \[ -\frac{1}{2} - \frac{7}{6} = -\frac{3}{6} - \frac{7}{6} = -\frac{10}{6} = -\frac{5}{3}. \] 因此，曲线积分的值是 \[ \boxed{-\frac{5}{3}}. \]

解析

本题考查格林公式的应用。解题思路是先根据格林公式将曲线积分转化为二重积分，然后确定积分区域，再分别计算二重积分的两个部分，最后将两部分结果相加得到最终答案。

应用格林公式：
- 已知格林公式$\oint_{L} P \, dx + Q \, dy = \iint_{D} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \, dA$，其中$P(x,y) = \sin x + x^2 y$，$Q(x,y) = \csc y - 3xy^2$。
- 计算偏导数：
  - $\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (\csc y - 3xy^2)= -3y^2$。
  - $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (\sin x + x^2 y)= x^2$。
- 则$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = -3y^2 - x^2$，原曲线积分转化为$\iint_{D} (-3y^2 - x^2) \, dA$。
确定积分区域：
- 三角形区域$D$的顶点是$(0,0)$，$(2,0)$，$(1,1)$，边界由直线$y = 0$，$y = x$，$y = 2 - x$组成。
- 积分区域$D$可分为两部分：
  - 当$0\leqslant x\leqslant 1$时，$0\leqslant y\leqslant x$；
  - 当$1\leqslant x\leqslant 2$时，$0\leqslant y\leqslant 2 - x$。
- 所以二重积分变为$\iint_{D} (-3y^2 - x^2) \, dA = \int_{0}^{1} \int_{0}^{x} (-3y^2 - x^2) \, dy \, dx + \int_{1}^{2} \int_{0}^{2-x} (-3y^2 - x^2) \, dy \, dx$。
计算第一个积分$\int_{0}^{1} \int_{0}^{x} (-3y^2 - x^2) \, dy \, dx$：
- 先对$y$积分：
  - $\int_{0}^{x} (-3y^2 - x^2) \, dy = \left[ -y^3 - x^2 y \right]_{0}^{x} = -x^3 - x^3 = -2x^3$。
- 再对$x$积分：
  - $\int_{0}^{1} -2x^3 \, dx = \left[ -\frac{1}{2} x^4 \right]_{0}^{1} = -\frac{1}{2}$。
计算第二个积分$\int_{1}^{2} \int_{0}^{2-x} (-3y^2 - x^2) \, dy \, dx$：
- 先对$y$积分：
  - $\int_{0}^{2-x} (-3y^2 - x^2) \, dy = \left[ -y^3 - x^2 y \right]_{0}^{2-x} = -(2 - x)^3 - x^2(2 - x)$。
- 展开$-(2 - x)^3$：
  - $-(2 - x)^3 = -(8 - 12x + 6x^2 - x^3) = -8 + 12x - 6x^2 + x^3$。
- 则被积函数变为$-8 + 12x - 6x^2 + x^3 - 2x^2 + x^3 = -8 + 12x - 8x^2 + 2x^3$。
- 再对$x$积分：
  - $\int_{1}^{2} (-8 + 12x - 8x^2 + 2x^3) \, dx = \left[ -8x + 6x^2 - \frac{8}{3} x^3 + \frac{1}{2} x^4 \right]_{1}^{2}$。
  - 计算$\left[ -8x + 6x^2 - \frac{8}{3} x^3 + \frac{1}{2} x^4 \right]_{1}^{2}$：
    - 当$x = 2$时，$-8\times 2 + 6\times 2^2 - \frac{8}{3} \times 2^3 + \frac{1}{2} \times 2^4 = -16 + 24 - \frac{64}{3} + 8 = 16 - \frac{64}{3}=-\frac{16}{3}$。
    - 当$x = 1$时，$-8\times 1 + 6\times 1^2 - \frac{8}{3} \times 1^3 + \frac{1}{2} \times 1^4 = -8 + 6 - \frac{8}{3} + \frac{1}{2}=-\frac{25}{6}$。
    - 所以$\int_{1}^{2} (-8 + 12x - 8x^2 + 2x^3) \, dx = -\frac{16}{3} - (-\frac{25}{6}) = -\frac{16}{3} + \frac{25}{6}=-\frac{7}{6}$。
计算最终结果：
- 将两个积分结果相加：$-\frac{1}{2} - \frac{7}{6} = -\frac{3}{6} - \frac{7}{6} = -\frac{10}{6}=-\frac{5}{3}$。