设 α1,α2,α3 是四元非齐次线性方程组 Ax=b 的三个解向量 , 且 r(A)=3,α1=(1,2,3,4)T,α2+α3=(0,1,2,3)T,C 表示任意常数 , 则线性方程组 Ax=b 的通解 x=() A. ⎡⎣⎢⎢⎢1234⎤⎦⎥⎥⎥+C⎡⎣⎢⎢⎢1111⎤⎦⎥⎥⎥ B. ⎡⎣⎢⎢⎢1234⎤⎦⎥⎥⎥+C⎡⎣⎢⎢⎢0123⎤⎦⎥⎥⎥ C. ⎡⎣⎢⎢⎢1234⎤⎦⎥⎥⎥+C⎡⎣⎢⎢⎢2345⎤⎦⎥⎥⎥ D. ⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢1234 ⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥+C⎡⎣⎢⎢⎢3456⎤⎦⎥⎥⎥

考查要点：本题主要考查非齐次线性方程组的通解结构，涉及解的性质、基础解系的确定以及特解的选择。

解题核心思路：

1. 确定齐次方程的基础解系：根据矩阵秩 $r(A)=3$ 和未知数个数 $4$，齐次方程 $Ax=0$ 的基础解系含 $4-3=1$ 个向量。
2. 构造齐次方程的解：利用非齐次方程的解 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 的线性组合，构造齐次方程的一个解 $\xi$。
3. 确定通解形式：通解为 特解（如 $\alpha_1$）加上齐次方程通解（$C\xi$）。

破题关键点：

• 非齐次解的差为齐次解：$\alpha_i - \alpha_j$ 是齐次方程的解。
• 线性组合构造基础解系：通过 $\alpha_1$ 与 $\alpha_2 + \alpha_3$ 的线性组合直接构造 $\xi$。

步骤1：确定齐次方程的基础解系

• 非齐次方程组 $Ax=b$ 的系数矩阵 $A$ 秩为 $3$，未知数个数为 $4$，故齐次方程 $Ax=0$ 的基础解系含 $4-3=1$ 个向量 $\xi$。

步骤2：构造齐次方程的解 $\xi$

• 已知 $\alpha_1 = \begin{pmatrix}1\\2\\3\\4\end{pmatrix}$，$\alpha_2 + \alpha_3 = \begin{pmatrix}0\\1\\2\\3\end{pmatrix}$。
• 构造线性组合：取 $\xi = 2\alpha_1 - (\alpha_2 + \alpha_3)$，计算得：
  $\xi = 2\begin{pmatrix}1\\2\\3\\4\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0\\1\\2\\3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\3\\4\\5\end{pmatrix}$
• 验证 $\xi$ 是齐次方程的解：$A\xi = 2A\alpha_1 - (A\alpha_2 + A\alpha_3) = 2b - (b + b) = 0$。

步骤3：确定通解形式

• 通解为 特解 $\alpha_1$ 加上齐次方程通解 $C\xi$，即：
  $x = \begin{pmatrix}1\\2\\3\\4\end{pmatrix} + C\begin{pmatrix}2\\3\\4\\5\end{pmatrix}$
• 对应选项 C。