题目

设1 2 3 4-|||--1 0 1 2-|||-1 -1 1 0-|||-1 0 1 -1，分别按第3行和第2列展开计算行列式值。

设 $D=\begin{vmatrix} 1&2&3&4\\ -1&0&1&2\\ 1&-1&1&0\\ 1&0&1&-1 \end{vmatrix}$ ，分别按第3行和第2列展开计算行列式值。

题目解答

答案

$D=\begin{vmatrix} 1&2&3&4\\ -1&0&1&2\\ 1&-1&1&0\\ 1&0&1&-1 \end{vmatrix}$ ；

按第3行展开计算行列式值：

$D=\begin{vmatrix} 2&3&4\\ 0&1&2\\ 0&1&-1 \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} 1&3&4\\ -1&1&2\\ 1&1&-1 \end{vmatrix}$ $+\begin{vmatrix} 1&2&4\\ -1&0&2\\ 1&0&-1 \end{vmatrix}$ ；

将第二个行列式的第一行的1倍加到第二行，-1倍加到第三行可得：

$\begin{vmatrix} 1&3&4\\ -1&1&2\\ 1&1&-1 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1&3&4\\ 0&4&6\\ 0&-2&-5 \end{vmatrix}$ ；

用第一列的代数余子式计算第一个行列式，第一列的代数余子式计算第一个行列式，第二列的代数余子式计算第三个行列式：

$D=2\begin{vmatrix} 1&2\\ 1&-1 \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} 4&6\\ -2&-5 \end{vmatrix}$ $-2\begin{vmatrix} -1&2\\ 1&-1 \end{vmatrix}$ ；

$=2\times\left[1\times\left(-1\right)-2\times1\right]+4\times\left(-5\right)-6\times\left(-2\right)$

$-2\left[\left(-1\right)\times\left(-1\right)-2\times1\right]$

$=2\times\left(-1-2\right)-20+12-2\times\left(1-2\right)$

$=2\times\left(-3\right)-20+12-2\times\left(-1\right)$

$=-6-20+12+2$

$=-26+12+2$

$=-14+2$

$=-12$ ；

$D=\begin{vmatrix} 1&2&3&4\\ -1&0&1&2\\ 1&-1&1&0\\ 1&0&1&-1 \end{vmatrix}$ ；

按第2列展开计算行列式值：

$=-2\begin{vmatrix} -1&1&2\\ 1&1&0\\ 1&1&-1 \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} 1&3&4\\ -1&1&2\\ 1&1&-1 \end{vmatrix}$ ；

对于第一个行列式：将第一列的-1倍加到第二列；

对于第二个行列式：将第一行的1倍加到第二行，-1倍加到第三行可得：

$=-2\begin{vmatrix} -1&2&2\\ 1&0&0\\ 1&0&-1 \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} 1&3&4\\ 0&4&6\\ 0&-2&-5 \end{vmatrix}$ ；

用第二列的代数余子式计算第一个行列式，第一列的代数余子式计算第二个行列式可得：

$=2\times2\begin{vmatrix} 1&0\\ 1&-1 \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} 4&6\\ -2&-5 \end{vmatrix}$ ；

$=4\times1\times\left(-1\right)+4\times\left(-5\right)-6\times\left(-2\right)$

$=-4-20+12$

$=-24+12$

$=-12$ ；

故本题的答案是：-12。