题目
31 判断 (2分)设z=f(x,y)由方程xy+yz+xz=1所确定，则(partial^2z)/(partial xpartial y)=(2z)/((y+x)^2).bigcircA.×bigcircB.√
31 判断 (2分)
设z=f(x,y)由方程xy+yz+xz=1所确定，则$\frac{\partial^{2}z}{\partial x\partial y}=\frac{2z}{(y+x)^{2}}$.
$\bigcirc$A.×
$\bigcirc$B.√
题目解答
答案
对等式 $xy + yz + xz = 1$ 求偏导数：
1. 关于 $x$ 求导得：
\[
y + y \frac{\partial z}{\partial x} + z + x \frac{\partial z}{\partial x} = 0 \implies \frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{y + z}{y + x}
\]
2. 关于 $y$ 求导得：
\[
x + z + y \frac{\partial z}{\partial y} + x \frac{\partial z}{\partial y} = 0 \implies \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{x + z}{y + x}
\]
3. 对 $\frac{\partial z}{\partial y}$ 关于 $x$ 求导：
\[
\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = -\frac{(1 + \frac{\partial z}{\partial x})(y + x) - (x + z)}{(y + x)^2}
\]
代入 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 化简得：
\[
\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{2z}{(y + x)^2}
\]
与题目一致，故答案为 $\boxed{B}$。
解析
步骤 1：对给定方程关于 $x$ 求偏导数
给定方程为 $xy + yz + xz = 1$。首先，我们对这个方程关于 $x$ 求偏导数，得到：
\[ y + y \frac{\partial z}{\partial x} + z + x \frac{\partial z}{\partial x} = 0 \]
整理得到：
\[ \frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{y + z}{y + x} \]
步骤 2：对给定方程关于 $y$ 求偏导数
接下来，我们对给定方程关于 $y$ 求偏导数，得到：
\[ x + z + y \frac{\partial z}{\partial y} + x \frac{\partial z}{\partial y} = 0 \]
整理得到：
\[ \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{x + z}{y + x} \]
步骤 3：对 $\frac{\partial z}{\partial y}$ 关于 $x$ 求偏导数
最后，我们对 $\frac{\partial z}{\partial y}$ 关于 $x$ 求偏导数，得到：
\[ \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = -\frac{(1 + \frac{\partial z}{\partial x})(y + x) - (x + z)}{(y + x)^2} \]
代入 $\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{y + z}{y + x}$，化简得到：
\[ \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{2z}{(y + x)^2} \]
给定方程为 $xy + yz + xz = 1$。首先，我们对这个方程关于 $x$ 求偏导数，得到：
\[ y + y \frac{\partial z}{\partial x} + z + x \frac{\partial z}{\partial x} = 0 \]
整理得到：
\[ \frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{y + z}{y + x} \]
步骤 2：对给定方程关于 $y$ 求偏导数
接下来，我们对给定方程关于 $y$ 求偏导数，得到：
\[ x + z + y \frac{\partial z}{\partial y} + x \frac{\partial z}{\partial y} = 0 \]
整理得到：
\[ \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{x + z}{y + x} \]
步骤 3：对 $\frac{\partial z}{\partial y}$ 关于 $x$ 求偏导数
最后，我们对 $\frac{\partial z}{\partial y}$ 关于 $x$ 求偏导数，得到：
\[ \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = -\frac{(1 + \frac{\partial z}{\partial x})(y + x) - (x + z)}{(y + x)^2} \]
代入 $\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{y + z}{y + x}$，化简得到：
\[ \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{2z}{(y + x)^2} \]