已知函数f（x）=ln（1+x）+axe-x．（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）若f（x）在区间（-1，0），（0，+∞）各恰有一个零点，求a的取值范围．

解：（1）当a=1时，f（x）=ln（1+x）+xe^-x，则${f}'（x）=\frac{1}{1+x}+{e}^{-x}-x{e}^{-x}$，
∴f′（0）=1+1=2，
又f（0）=0，
∴所求切线方程为y=2x；
（2）${f}'（x）=\frac{1}{1+x}+\frac{a（1-x）}{{e}^{x}}$，
若a≥0，当-1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，则f（x）＜f（0）=0，不合题意；
故a＜0，${f}'（x）=\frac{1}{1+x}（1+\frac{a（1-{x}^{2}）}{{e}^{x}}）$，令$g（x）=1+\frac{a（1-{x}^{2}）}{{e}^{x}}$，注意到$g（1）=1，g（0）=1+a，{g}'（x）=\frac{a（x-1+\sqrt{2}）（x-1-\sqrt{2}）}{{e}^{x}}$，
令g′（x）＞0，解得$-1＜x＜1-\sqrt{2}$或$x＞1+\sqrt{2}$，令g′（x）＜0，解得$1-\sqrt{2}＜x＜1+\sqrt{2}$，
∴g（x）在$（-1，1-\sqrt{2}），（1+\sqrt{2}，+∞）$单调递增，在$（1-\sqrt{2}，1+\sqrt{2}）$单调递减，且x＞1时，g（x）＞0，
①若g（0）=1+a≥0，当x＞0时，g（x）＞0，f（x）单调递增，不合题意；
②若g（0）=1+a＜0，g（0）g（1）＜0，则存在x₀∈（0，1），使得g（x₀）=0，
且当x∈（0，x₀）时，g（x）＜g（0）=0，f（x）单调递减，则f（x₀）＜f（0）=0，
当x＞1时，f（x）＞ln（1+x）+a＞0，f（e^-a-1）＞0，则由零点存在性定理可知f（x）在（1，e^-a-1）上存在一个根，
当$1-\sqrt{2}＜x＜0$时，g（x）＜0，f（x）单调递减，$f（1-\sqrt{2}）＞f（0）=0$，
当$-1＜x＜1-\sqrt{2}$时，f（x）＜ln（1+x）-ae＜0，f（e^ae-1）＜0，则由零点存在性定理可知f（x）在$（{e}^{ae}-1，1-\sqrt{2}）$上存在一个根．
综上，实数a的取值范围为（-∞，-1）．